题目链接：洛谷
题目大意：求所有$n$个点的有根二叉树的叶子节点数总和/$n$个点的有根二叉树的个数。
数据范围：$nleq 10^9$
生成函数神题！！！！（我只是来水博客的）
首先$n$个点的有根二叉树的个数就是卡特兰数，我们考虑求分子。
设卡特兰数$g_i=frac{C_{2n}^n}{n+1}$，分子是$f_i$则
$$f_n=2*sum_{i=0}^{n-1}g_i*f_{n-i-1}(ngeq 2)$$
$$g_n=sum_{i=0}^{n-1}g_i*g_{n-i-1}(ngeq 2)$$
$$f_0=0,f_1=g_0=g_1=1$$
设$f_i$和$g_i$的生成函数分别为$F(x),G(x)$则
$$G(x)=xG(x)^2+x$$
$$F(x)=2xF(x)G(x)+x$$
先解得
$$G(x)=frac{1pmsqrt{1-4x}}{2x}$$
注意这里要用到一个技巧，就是当发现解出来有两个解的时候，我们可以代入特殊值。
我们发现$1=g_0=G(0)=limlimits_{x ightarrow 0}frac{1pmsqrt{1-4x}}{2x}$所以
$$G(x)=frac{1-sqrt{1-4x}}{2x}$$
代入第一个式子就可以得出
$$F(x)=frac{x}{sqrt{1-4x}}$$
因为我们知道$g_n$的通项公式，所以我们可以用生成函数来推出$f_n$
凑一下就知道是
$$(xG(x))'=(frac{1-(1-4x)^{frac{1}{2}}}{2})'=frac{1}{sqrt{1-4x}}=frac{F(x)}{x}$$
然后就发现$G(x)$的其中一项$g_ix^i$经过运算后贡献到了$(i+1)g_ix^i$,$f_{i+1}x^{i+1}$贡献到了$f_{i+1}x^i$
所以$f_n=ng_{n-1}=C_{2n-2}^{n-1}$
所以
$$Ans=frac{f_n}{g_n}=frac{C_{2n-2}^{n-1}*(n+1)}{C_{2n}^n}=frac{n(n+1)}{2(2n-1)}$$
（然后你就做完了别人打表做出来的东西）
不放代码了，这个只有8行。