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  • LOJ6102「2017 山东二轮集训 Day1」第三题 【min-max容斥,反演】

    题目描述:输入一个大小为(n)的集合(S),求( ext{lcm}_{kin S}f_k),其中(f_k)是第$$个Fibonacci数。

    数据范围:(nle 5 imes 10^4,ule 10^6)

    数论经典题?

    首先你要想到min-max容斥。

    [ ext{lcm}(f_S)=prod_{varnothing e Tsubseteq S}gcd(f_T)^{(-1)^{|T|-1}} ]

    然后你知道(gcd(f_a,f_b)=f_gcd(a,b)),所以。

    [ ext{lcm}(f_S)=prod_{varnothing e Tsubseteq S}f_{gcd(T)}^{(-1)^{|T|-1}} ]

    不知道为什么你开始反演,设(f_n=prodlimits_{d|n}g_d),则(g_n=prodlimits_{d|n}f_{d}^{mu(frac{n}{d})})

    [egin{aligned} ext{lcm}(f_S)&=prod_{varnothing e Tsubseteq S}(prod_{d|gcd(T)}g_d)^{(-1)^{|T|-1}} \ &=prod_{d}g_d^{sumlimits_{varnothing e Tsubseteq S,d|T}(-1)^{|T|-1}} end{aligned} ]

    我们看看指数是啥。设(S_d={n|nin Sand d|n})

    [sum_{varnothing e Tsubseteq S_d}(-1)^{|T|-1}=[|S_d|>0] ]

    所以

    [ ext{lcm}(f_S)=prod_{exist ain S,d|a}g_d ]

    直接做,时间复杂度(O(klog k))

    code ```cpp #include #define Rint register int using namespace std; typedef long long LL; const int mod = 1e9 + 7, N = 1000003; int n, a[N], mx, f[N], g[N], ans = 1; bool vis[N]; inline int add(int a, int b){return (a + b >= mod) ? (a + b - mod) : (a + b);} inline int kasumi(int a, int b){ int res = 1; while(b){ if(b & 1) res = (LL) res * a % mod; a = (LL) a * a % mod; b >>= 1; } return res; } int main(){ scanf("%d", &n); for(Rint i = 1;i <= n;i ++) scanf("%d", a + i), vis[a[i]] = true, mx = max(mx, a[i]); for(Rint i = 1;i <= mx;i ++) for(Rint j = (i << 1);j <= mx;j += i) vis[i] |= vis[j]; f[0] = 0; f[1] = g[1] = 1; for(Rint i = 2;i <= mx;i ++) f[i] = add(f[i - 1], f[i - 2]), g[i] = 1; for(Rint i = 1;i <= mx;i ++){ int tmp = kasumi(g[i] = (LL) g[i] * f[i] % mod, mod - 2); for(Rint j = (i << 1);j <= mx;j += i) g[j] = (LL) g[j] * tmp % mod; } for(Rint i = 1;i <= mx;i ++) if(vis[i]) ans = (LL) ans * g[i] % mod; printf("%d", ans); } ```
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/AThousandMoons/p/11813224.html
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