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  • 拓展欧几里得算法求不定方程

    对于
            ax+by=gcd(a,b) 

    这样的方程,可以用扩展欧几里得算法exgcd求出一组通解。

    根据欧几里得求gcd:
            gcd(a,b)=gcd(b,a%b) 

    可得
            bx+(a%b)y=gcd(b,a%b) 

    根据
          a%b=a−(a/b)∗b 

    可得
            bx+ay−(a/b)b∗y=gcd(b,a%b)  

    化简得
            ay+b(x−(a/b)y)=gcd(b,a%b)  

           x=y,y=(x(a/b)y)

        ax+by=gcd(b,a%b)<=>ax+by=gcd(a,b)

    根据

          gcd(a,0)=a

    一直递归直到b为0时可得
          ax+by=a 

    可以得出一组平凡解
              x=1,y=0 

    所以一直递归下去可以得出一组平凡解,然后再往回带得出ax+by=gcd(a,b)的一组解(x=y,y=(x(a/b)y)) 

    求解同余方程可以用费马小定理来求也可以用拓展欧几里得来求
    ax≡b mod n <==>ax+ny=b

    就转变成了上述形式

    费马小定理:a是上能被质数p整除的正整数,则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

    推导:a^(p-1) = 1(mod)p = a*a^(p-2)≡1 (mod p) 因此a的逆元为 a^(p-2); 所以对于满足费马小定理的可以直接用快速幂来求

    例题 杭电  B - A/B

    要求(A/B)%9973,但由于A很大,我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除,且gcd(B,9973) = 1)。

    Input数据的第一行是一个T,表示有T组数据。 
    每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。Output对应每组数据输出(A/B)%9973。Sample Input

    2
    1000 53
    87 123456789

    Sample Output

    7922
    6060

    除法逆元,,b*c=1(mod p) 则c就是b的逆元 那么a/b mod p==a/b*b*c(modp)==a*c(mod p)因此直接求出b的逆元c然后再乘以a取模就可以了
    两种做法 :
    1 费马小定理
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int MOD=9973;
    ll ksm(ll a,ll b){
        ll res=1;
        while(b){
            if(b&1) res=res*a%MOD;
            a=a*a%MOD;
            b>>=1;
        }
        return res;
    }
    int main(){
        ll t;
        cin>>t;
        while(t--){
            ll a,b;
            cin>>a>>b;
            cout<<(a%MOD*ksm(b,MOD-2)%MOD)%MOD<<endl;
            
        }
        
        return 0;
    }

    2 拓展欧几里得

    //a*x≡1(mod m) 等价于a*x+m*y=1(解释:对该公式俩边同时对m取摸,m*y对m取摸一定为0),因此求得x就是a的逆元 
    // 可以用扩展欧几里得求
    //得一组解,(x+m)mod m即为a的逆元
    //该深度的x等于其下一个深度的Y 该深度的y等于其下一个深度的x-(a/b)*y
    #include<iostream>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    ll x,y;
    const int MOD=9973;
    int exgcd(ll a,ll b){
    //--------该阶段可以就理解为求a与b的最大公约数,当b等于0时说明最大公约数找到了,就是此刻的a,然后在开始回溯更新x和y的值 
        if(b==0) {
            x=1;
            y=0;
            return a; 
        }
        int r=exgcd(b,a%b);
    //---------------------     
        ll t=y;
        y=x-(a/b)*y;
        x=t;
        return r;
    }
    
    int main(){
        ll k;
        cin>>k;
        while(k--){
            ll a,b;
            cin>>a>>b;
            exgcd(b,MOD);
            x=(x+MOD)%MOD;
            cout<<(a%MOD*x%MOD)%MOD<<endl;
        }    
        return 0;
    }

     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Accepting/p/11351578.html
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