泥泞的道路

【题目描述】

有n个小区，并且任意小区之间都有两条单向道路（a到b，b到a）相连。因为最近下了很多暴雨，很多道路都被淹了，不同的道路泥泞程度不同。经过对近期天气和地形的科学分析，绘出了每条道路能顺利通过的时间以及这条路的长度。

现在某人在小区1，他希望能够很顺利地到达目的地小区n，请帮助他找出一条从小区1出发到达小区n的所有路线中（总路程/总时间）最大的路线，并告诉他这个值。

【输入描述】

第一行包含一个整数n，为小区数。

接下来n*n的矩阵P，其中第i行第j个数表示从小区i到小区j的道路长度为P[i,j]。第i行第i个数的元素为0，其余保证为正整数。

接下来n*n的矩阵T，其中第i行第j个数表示从小区i到小区j需要的时间为T[i,j]。第i行第i个数的元素为0，其余保证为正整数。

【输出描述】

写入一个实数S，为小区1到达n的最大答案，S精确到小数点后3位。

【样例输入】

3

0 8 7 

9 0 10 

5 7 0 

0 7 6 

6 0 6 

6 2 0

【样例输出】

2.125

【数据范围及提示】

【数据说明】

30%的数据，n <= 20；

100%的数据，n <= 100，p,t <= 10000。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
queue <int> h;
int n,vis[101],p[101][101],t[101][101];
double left=0.0,right=10000.0,num=0.0001,ans=0,i[101][101],dis[101];
bool f[101];
bool SPFA(double mid) //SPFA求最长路径。
{
    for (int a=1;a<=n;a++)
      for (int b=1;b<=n;b++)
        i[a][b]=(double)p[a][b]-(double)t[a][b]*mid; //在本题中，应特别注意double类型的更改和转换。
    memset(dis,-0x3f,sizeof(dis)); //赋极小值。
    memset(f,0,sizeof(f));
    memset(vis,0,sizeof(vis)); //判断是否为环。
    while (h.size())
      h.pop();
    h.push(1);
    f[1]=true;
    dis[1]=0;
    vis[1]=1;
    while (h.size())
    {
        int k=h.front();
        for (int a=1;a<=n;a++)
          if (i[k][a]+dis[k]>dis[a])
          {
              dis[a]=i[k][a]+dis[k];
              if (!f[a])
              {
                  h.push(a);
                  f[a]=true;
                  vis[a]++; //
                  if (vis[a]>n)
                    return 1;
            }
          }
        f[k]=false;
        h.pop();
    }
    return dis[n]>=0?1:0; //判断是否具有更优解。
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int a=1;a<=n;a++)
      for (int b=1;b<=n;b++)
        scanf("%d",&p[a][b]);
    for (int a=1;a<=n;a++)
      for (int b=1;b<=n;b++)
        scanf("%d",&t[a][b]);
    while (right-left>num)
    {
        double mid=(left+right)/2.0;
        if (SPFA(mid))
          left=ans=mid;
        else
          right=mid;
    }
    printf("%.3lf",ans);
    return 0;
}

/*
    一道有趣的变式题：
        (总路程/总时间)max=((s1+s2+...sN)/(t1+t2+...+tN))max=ans
    经变换可以得到：
        (s1+s2+...+sN)=(t1+t2+...+tN)*ans
    即：(s1-t1*ans)+(s2-t2*ans)+...+(sN-tN*ans)=0
    把上述内容以图论形式转换，可以得到此问题的解法：二分答案+SPFA。
    注意：
        N个点，则第K点最多入度为(N-1)，当入队次数超过N时，则必然有某条边重复了，存在环。
*/