逆序对数列

【题目描述】

对于一个数列{a[]}，如果有i<j且a[i]>a[j]，那么我们称a[i]与a[j]为一对逆序对数。若对于任意一个由1~n自然数组成的数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。询问逆序对数为k的这样自然数数列到底有多少个。

【输入描述】

 第一行为两个整数n、k。

【输出描述】

写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对10000求余数后的结果。

【输入样例】

4 1

【输出样例】

3

【数据范围】

下列3个数列逆序对数都为1，分别是：

1 2 4 3

1 3 2 4

2 1 3 4
n <= 1000，k <= 1000。

BZOJ的数据太水了，O(m*n^2)的普通解法竟然过了：

源代码：

#include<cstdio>
int m,n,f[1001][1001]={0};
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int a=1;a<=n;a++) //初始化边界。
      f[a][0]=1;
    for (int a=1;a<=n;a++)
      for (int b=1;b<=m;b++)
        for (int c=1;c<=a;c++)
          if (b-a+c>=0) //避免越界溢出。
            f[a][b]=(f[a][b]+f[a-1][b-a+c])%10000;
    printf("%d",f[n][m]);
    return 0;
}

/*
    挺简单的DP：
        f[i][j]表示1~i个自然数所组合成的、逆序对数为j的数列个数。
        在1~i中，i即为最大，故将它安插到某一位置，其后方的所有数都会与它形成逆序对。
        由上可得状态转移方程：
            f[i][j] = ∑f[i-1][j-i+k]，(1 <= k <= i)。
*/

滚动数组+前缀和优化后的O(mn)解法：

源代码：

#include<cstdio>  
int m,n,sum[1001],f[1001];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int a=0;a<=m;a++) //除f[1][0]为1外，f[1][j]皆为0。
      sum[a]=1;
    for (int a=2;a<=n;a++) //直接从f[2][]开始。
    {
        f[0]=1; //f[i][0]显然为1。
        for (int b=1;b<=m;b++)
          if (b-a>=0)
          {
            f[b]=sum[b]-sum[b-a];
            while (f[b]<0) //注意此处理，避免因负数而出现错误。
              f[b]+=10000;
          }
          else
            f[b]=sum[b];
        for (int b=1;b<=m;b++) //前缀和处理。
          sum[b]=(sum[b-1]+f[b])%10000;
    }
    printf("%d",f[m]);
    return 0;
}