• 整数阶乘结果的尾数的0的个数


    问题描述 
        给定参数n(n为正整数),请计算n的阶乘n!末尾所含有“0”的个数。 
        例如,5!=120,其末尾所含有的“0”的个数为1;10!= 3628800,其末尾所含有的“0”的个数为2;20!= 2432902008176640000,其末尾所含有的“0”的个数为4。 
      
    计算公式
        这里先给出其计算公式,后面给出推导过程。 
        令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数,则有: 
          当0 < n < 5时,f(n!) = 0; 
          当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5(取整)。 
      
    问题分析
        显然,对于阶乘这个大数,我们不可能将其结果计算出来,再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。 
      
        我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数,若对其进行因式分解,那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里,每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意,一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”,因为还需要一个因子“2”,才能实现其一一对应。 
      
        我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论: 
        结论1: 对于n的阶乘n!,其因式分解中,如果存在一个因子“5”,那么它必然对应着n!末尾的一个“0”。 
        下面对这个结论进行证明: 
        (1)当n < 5时, 结论显然成立。 
        (2)当n >= 5时,令n!= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a,其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4),a是一个不含因子“5”的整数。 
        对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k),都含有因子“5”,并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数,也就是说,a中存在一个因子“2”与5i相对应。即,这里的k个因子“5”与n!末尾的k个“0”一一对应。 
        我们进一步把n!表示为:n!= 5^k * k! * a(公式1),其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法,得出结论1。 
         
        上面证明了n的阶乘n!末尾的“0”与n!的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说,计算n的阶乘n!末尾的“0”的个数,可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。 
      
        令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数,则利用上面的的结论1和公式1有: 
           f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!) 
    所以,最终的计算公式为: 
        当0 < n < 5时,f(n!) = 0; 
        当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5(取整)。 
      
    计算举例
       f(5!) = 1 + f(1!) = 1 
       f(10!) = 2 + f(2!) = 2 
       f(20!) = 4 + f(4!) = 4 
       f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24 
       f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249 

  • 相关阅读:
    5. Redis持久化
    4.Redis客户端
    3.Redis高级功能
    2.Redis五种数据结构
    1.Redis简介
    32.Mysql Cluster
    suffix ACM-ICPC 2017 Asia Qingdao
    多层BFS
    我想和你们说说java和C++___C加加
    11073 最热门的K个搜索串
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/AllenIverson/p/4567094.html
走看看 - 开发者的网上家园