洛谷题目链接:[CQOI2007]余数求和
题目背景
数学题，无背景
题目描述
给出正整数n和k，计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29
输入输出格式
输入格式：
两个整数n k
输出格式：
答案
输入输出样例
输入样例#1：
10 5
输出样例#1：
29
说明
30%: n,k <= 1000
60%: n,k <= 10^6
100% n,k <= 10^9
一句话题意: 给出(n,k(n,k<=10^9)),求$$sum_{i=1}^{n}kmod i$$
题解: 学习这个之前我们首先需要知道什么是整除分块.
那么对于一个块内,所有的(lfloor frac n i
floor)都是一样的.但是如果我还想让一个块内所有的(lfloor frac n i
floor)都一样该怎么办呢?我们来看一张图(竖线是块与块的分界线):
其实我们可以将原来的一个块再拆成几个块再计算.
既然知道了这个方法,我们就可以继续化简式子了.
[ans=sum_{i=1}^{n}kmod i
]
[ans=sum_{i=1}^{n}k-lfloor frac{k}{i}
floor imes i
]
根据我们分的块,在同一个块内的(lfloor frac{k}{i} floor)和(lfloor frac{n}{i} floor)是一样的,所以这个块内的答案也就可以用((r-l+1) imes (k mod l+k mod r)/2)表示,然后再判断下一个区间的位置就可以了.
很好想的,代码也很好理解,如果不懂可以看代码再理解一下.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int _int;
#define int long long
int n, k, ans = 0;
_int main(){
cin >> n >> k;
int l = 1, rn, rk, lim = min(n, k);
while(l <= lim){
rn = n/(n/l), rk = k/(k/l);
if(rn < rk) ans += (rn-l+1)*(k%l+k%rn)/2, l = rn+1;
else ans += (rk-l+1)*(k%l+k%rk)/2, l = rk+1;
}
if(lim == k) ans += (n-k)*k;
cout << ans << endl;
return 0;
}