卢卡斯(Lucas)定理

问题

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给你正整数 (n,m,p)，其中 (p) 是质数。求 (dbinom{n}{m} \% p)（(dbinom{n}{m}) 是组合数，表示 (n) 选出 (m)）。

Lucas定理结论

若 (p) 是质数，则对于任意整数 (1 le m le n)，有：

[dbinom{n}{m} equiv dbinom{n\%p}{m\%p} *　dbinom{lfloor n/p floor}{lfloor m/p floor} pmod{p} ]

另一种形式：

设 (n=sum_{i=0}^k n_i*p^i,m=sum_{i=0}^k m_i*p^i)（相当于把 (n,m) 写成 (p) 进制数），那么有：

[dbinom{n}{m} equiv prod_{i=0}^k dbinom{n_i}{m_i} pmod{p} ]

很显然两种形式意义相同，我们直接证明后面这个式子。

证明

前置知识：多项式同余

前置知识：二项式定理

推导：

[ecause (1+x)^p = sum_{i=0}^p dbinom{p}{i} 1^{p-i}*x^i = sum_{i=0}^p dbinom{p}{i} x^i ]

[ herefore (1+x)^p equiv sum_{i=0}^p dbinom{p}{i} x^i pmod{p} ]

把首项尾项拎出来，因为中间的项都至少含有一个因子 (p)，所以在 (mod p) 意义下为零，因此有：

[(1+x)^p equiv 1+x^p pmod{p} ]

利用上面这个结论：

[ecause (1+x)^n = prod_{i=0}^k (1+x)^{n_i*p^i} ]

[ herefore (1+x)^n equiv prod_{i=0}^k (1+x^{p^i})^{n_i} pmod{p} ]

我们又知道 (dbinom{n}{m}) 表示 ((1+x)^n) 的展开式中 (x^m) 的系数。

(dbinom{n_i}{m_i}) 表示 ((1+x^{p^i})^{n_i}) 的展开式中 (x^{m_i*p^i})

将 (dbinom{n_0}{m_0} x^{m_0*p^0},...,dbinom{n_k}{m_k} x^{m_k*p^k}) 相乘，可以得到 (dbinom{n_0}{m_0}*...*dbinom{n_k}{m_k} x^m = (prod_{i=0}^k dbinom{n_i}{m_i}) x^m)

回到前面这个同余式，根据多项式同余定理，两个式子同余，那么就有两个多项式的 (x^m) 这项的系数同余，于是就有：

[dbinom{n}{m} equiv prod_{i=0}^k dbinom{n_i}{m_i} pmod{p} ]

证毕。

Code

Talk is cheap.Show me the code.

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read() {
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
	return x * f;
}
const int N = 1e5+7;
int n,m,p;
int fac[N];
int Pow(int x,int y) {
	int res = 1, base = x;
	while(y) {
		if(y&1) res = res*base%p; base = base*base%p; y >>= 1;
	}
	return res;
}
int C(int a,int b) {
	if(a < b) return 0;
	return fac[a] * Pow(fac[b],p-2) % p * Pow(fac[a-b],p-2) % p;
}
int Lucas(int a,int b) {	// (a,b)
	if(!b) return 1;
	return C(a%p,b%p) * Lucas(a/p,b/p) % p;
}
void work() {
	n = read(), m = read(), p = read();
	fac[0] = 1;
	for(int i=1;i<=p;++i) fac[i] = fac[i-1] * i % p;
	printf("%lld
",Lucas(n+m,m));
}
signed main()
{
	int T = read();
	while(T--) work();
	return 0;
}

感谢

感谢 NCC-79601 【学习笔记】卢卡斯定理，Combatting 卢卡斯定理（十分钟带你看懂） 帮助我学会了卢卡斯定理。

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扩展

当且仅当 (n & m = m)（即 (m) 是 (n) 二进制下的子集）时，(dbinom{n}{m} equiv 1 pmod{2})

证明：
根据 (Lucas) 定理，有：

[dbinom{n}{m} equiv dbinom{n\%2}{m\%2}*dbinom{lfloor n/2 floor}{lfloor m/2 floor} pmod{2} ]

将 (n\%2) 和 (lfloor n/2 floor) 放在二进制下思考，可以发现是一个递归的问题。 (dbinom{0}{1}=0)，其他都是 (0)。
综上，当且仅当 (n & m = m)（即 (m) 是 (n) 二进制下的子集）时，(dbinom{n}{m} equiv 1 pmod{2})。证毕。

PS：进一步可以扩展到 (mod p)，只要转化到 (p) 进制下思考即可。