[CERC2017]Buffalo Barricades（思维/传递闭图/并查集）

Problem

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Solution

首先考虑将每个奶牛归入到最后划分出来的区域，忽略掉一个奶牛可能重复累计到多个区间的条件，例如：

其中奶牛 (1,2) 归给操作 ('A')，奶牛 (3) 归给操作 ('B')，以此类推。

用扫描线来实现这一步。我们从右往左扫描每个点，用一个 (set) 维护扫描过的栅栏点的 (y) 值，且 (set) 中维护的栅栏点仍在向左延伸。具体的：

• 如果扫描到一个栅栏点 (p)，将其插入到 (set)，再一直往下走，如果遇到了比他时间大的点 (q)，将 (q) 在 (set) 中删除，直到遇到第一个比他时间小的点 (t) break。（即第一个 (y_t<y_p,t<p)，(p,t)是点的编号，直接代表时间）

• 如果扫描到一个奶牛点 (p)，将其归到 (set) 中 (y) 值比他大的第一个点 (t) 内。

记编号为 (i) 的栅栏点经过上述算法统计出来的区间奶牛数为 (sz_i)。

我们称包含关系为：区间 (i) 包含区间 (j)（即 (x_j<x_i,y_j<x_i)），且 (i) 的时间比 (j) 小（即 (i < j)），则 (j) 对 (i) 最后的答案有 (sz_j) 贡献。

有了这个关系，我们可以对于每个区间对，如果满足包含关系，则可以 (j->i) 建一条边。于是我们得到了一张 (DAG)，但是边的数量是 (n^2) 的，考虑优化。

可以发现，如果 (i->j->k)，则 (i->k)，这种关系又叫做传递闭图。可以从这里入手，不建这么多边。具体的： 每个栅栏点 (j) 向右上角离它最近的一个点 (i) 建一条边，这样建满足了第一维关系（(x_j<x_i,y_j<x_i)）。记栅栏点 (i) 连向的右上角离它最近的栅栏点为 (pa[i])。这样建出来的图是一个内向森林。

在这个图中，如果 (i) 是 (j) 的祖先，且 (j -> i) 路径上所有的时间都比 (i) 大，则可以 (j) 对 (i) 造成贡献。这个可以按时间从大到小枚举 (i)，加入 (i -> pa[i]) 这条边。这样扫到 (j) 时，(j) 的联通块内所有的点的时间都比 (j) 大，这样 (j) 联通块内所有点 (k) 的 (sz_k) 都可以对 (j) 造成贡献。

时间复杂度 (O(n log n))。

Code

Talk is cheap.Show me the code.

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x * f;
}
const int N = 1e6+7;
int np,n;
int Y[N<<1],sz[N],fa[N],pa[N],ans[N];
struct Node {
	int x,id;
	bool operator < (const Node &el) const {
		return (x==el.x ? id>el.id : x>el.x);
	}
}p[N<<1];
int Find(int x) {
	return (fa[x]==x ? x : fa[x]=Find(fa[x]));
}
int main()
{
	//freopen("")
	np = read();
	for(int i=1;i<=np;++i) {
		int x = read();
		Y[i] = read();
		p[i] = (Node)<%x,i%>;
	}
	n = read();
	for(int i=np+1;i<=np+n;++i) {
		int x = read();
		Y[i] = read();
		p[i] = (Node)<%x,i%>;
	}
	sort(p+1, p+1+np+n); //如果x相同 操作需排在点前面 
	memset(pa, -1, sizeof(pa));
	set<Node> s;
	for(int i=1;i<=np+n;++i) {
		int id = p[i].id, y = Y[id];
		if(id <= np) {
			//printf("# %d
",id);
			set<Node>::iterator it = s.lower_bound((Node)<%-y,INF%>);
			if(it != s.end()) {
				Node tmp = *it;
				int tid = tmp.id-np;
				++sz[tid];
				//printf("star %d calc %c
",id,tid+'A'-1);
			}
		} else {
			//printf("# %c
",id-np+'A'-1);
			set<Node>::iterator it = s.lower_bound((Node)<%-y,INF%>);
			if(it!=s.end()) pa[id-np] = it->id-np;
			s.insert((Node)<%-y,id%>);
			it = s.find((Node)<%-y,id%>);
			if(it != s.begin()) --it;	//注意 
			vector<Node> vec;
			for(;it!=s.begin();--it) {
				if(it->id < id) break;
				vec.pb(*it);
			}
			if(it->id > id) vec.pb(*it);
			for(int i=0;i<vec.size();++i) {
				s.erase(vec[i]);
			}
			vec.clear();
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) fa[i] = i;
	for(int i=n;i>=1;--i) {
		int fx = Find(i);
		ans[i] = sz[fx];
		if(pa[i] != -1) {
			int fy = Find(pa[i]);
			fa[fx] = fy; sz[fy] += sz[fx];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) printf("%d
",ans[i]);
	return 0;
}
/*
7
1 1
4 2
6 2
5 3
2 5
4 7
7 5
4
4 4
8 2
9 6
6 5
 
2
1
3
2
*/

Summary

注意 (set) 的使用！