【字符串】KMP算法

KMP算法

参考
感谢草叶y提出本文原先存在的错误

基本概念

1、s[ ]是模式串，即比较长的字符串（要去匹配上的字符串）。
2、p[ ]是模板串，即比较短的字符串。（用来去匹配的字符串）
3、“非平凡前缀”：指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合（前面连续的部分）。
4、“非平凡后缀”：指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。（后面会有例子，均简称为前/后缀）

注意：KMP算法中前后缀指的都是非平凡，即不包括整个串。

5、“部分匹配值”：前缀和后缀的最长共有元素的长度。
6、next[ ]是“部分匹配值表”，即next数组，它存储的是每一个下标对应的“部分匹配值”，是KMP算法的核心。（后面作详细讲解）

next数组的含义、手动模拟及求解

用p[x,y]来表示p串中位置起于x位置，终于y位置的子串。

对于任意一个j，且j小于等于p串的长度

有这么一个定义，next[j]表示的是p[1,j]子串中前缀和后缀相同的最大子串的长度。

为了算法的方便，KMP算法中字符串p的下标从1开始

按照定义，对于位置j，有这么一个性质，p[1,next[j]]=p[j-next[j]+1,j](即前缀等于后缀)

比如，abaaba,我们可以对它进行手动模拟

手动模拟

p	a	b	a	a	b
下标	1	2	3	4	5
nextp[下标+1]	0	0	1	1	2

对于next[1]来说，p串下标1前是没有任何元素的

子串	a
非平凡前缀	(empty)
非平凡后缀	(empty)
next[1]	0

对于next[2]来说，

子串	ab
非平凡前缀	{a}
非平凡后缀	{b}
next[2]	0

对于next[3]来说，

子串	aba
非平凡前缀	{a,ab}
非平凡后缀	{a,ba}
next[3]	1

对于next[4]来说，

子串	abaa
非平凡前缀	{a,ab,aba}
非平凡后缀	{b,ba,baa}
next[4]	1

对于next[5]来说，

子串	abaab
非平凡前缀	{a,ab,aba,abaa}
非平凡后缀	{b,ab,aab,baab}
next[5]	2

经过手动的模拟，我们有了大概的对KMP算法next数组的求解规律的感觉。

next数组的求解

• 有模式串去生成next数组

• 在已经知道next[j]的前提下，尝试去求next[j+1]，可以发现next[j+1]<=next[j]+1.

• 由于求的是非平凡前后缀，所以KMP算法的求next数组的起始位置要从2开始。

• 由于是求一个前缀和一个后缀，故而，需要两个指针来完成任务。（一个用来确定前缀，一个用来确定后缀）。

• 因为p[1,next[j]]=p[j-next[j]+1,j]，设前子串为a，后子串为b，由于前后子串相等，且a子串内部也有对应的next[ a.length() ] ,且它会和b子串对应上。

• 这个性质在KMP快速匹配的时候非常有用(可以看成前缀和后缀各自裂开，最终形成了四个相同部分)，比如说这一句(i代表新加入来的点，而j代表的是原来为加入i这个点时的串p[1,i-1]的next[i-1])。

  while(j&&p[i]!=p[j+1])j=next[j];
  

  大致流程

代码理解，如果有必要的话就做一个裂开处理，然后裂开完后，再做进一步的确认

for(int i = 2, j = 0; i <= m; i++)
{
    while(j && p[i] != p[j+1]) j = next[j];
    if(p[i] == p[j+1]) j++;
    next[i] = j;
}

处理好产生于较小长度的p串的next数组后，就可以拿着这个next数组再s串中进行匹配。

匹配

这里也是需要分两个指针，指针i和指针j，指针i用来在s串中扫，指针j用来在p串中扫。

同时在匹配过程中，如果没有出现什么意外（匹配不上）的话，匹配量就会一直加一加一，并且

for(int i = 1 , j=0;i<=s.length();i++)
{
     while(j && s[i]!=p[j+1]) j=ne[j];
     if(s[i]==p[j+1]) j++;
     if(j==m)//匹配成功
     {
          printf("%d",i-m+1)
          j = ne[j];
     }
}

重新开始匹配之旅且借助next数组快速开局（重生之我是kmp匹配）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
        x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
const int N = 1E6+10, M =1E5+10; 
int n,m;
int ne[M];
char s[N],p[M];
int main()
{
    m = read();
    cin>>p+1;
    n = read();
    cin>>s+1;
    for(int i=2,j=0;i<=m;i++)
    {
    	while(j&&p[i]!=p[j+1]) j = ne[j];
    	if(p[i]==p[j+1]) j++;
    	ne[i] = j;
	}
	for(int i=1,j=0;i<=n;i++)
	{
	
		while(j&&s[i]!=p[j+1]) j=ne[j];
		if(s[i]==p[j+1]) j++;
		if(j==m)
		{
			printf("%d ",i-m);
			j = ne[j];
		}
		
	}
    return 0;
}