最大矩形问题总结

昨天晚上刷水题写到一道最大全1正方形，于是兴致勃勃将系列相关都复习了一遍qwq

1.最大子段和 

测试地址：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1115

Problem：给出一段序列，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

Key：f[i]表示以i为终点时的最大子段和，f[i]=max(f[i-1],0)+a[i]；ans=max(ans,f[i])；

#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=200009;
int a[maxn],f[maxn];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=max(f[i-1],0)+a[i];
    }
    int ans=-0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

2.最大子矩形和（最大加权矩形） 

测试地址：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1719

Problem：给定一个整数矩阵，求其中一个任意大小的子矩形，使该子矩形内值的和最大。

Key：将二维的矩阵按行压成一维，枚举列来做最大子段和，复杂度O(n^3)。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=150;
int a[maxn][maxn],n,m,sum[maxn];
int ans=-0x3f3f3f3f;
int f[maxn];
int calc_max(int val[],int n)
{
    int ret=-0x3f3f3f3f;
    f[1]=val[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
        f[i]=max(f[i-1],0)+val[i],ret=max(ret,f[i]);
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    m=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int k=1;k<=m;k++)
        {
            sum[k]=0;
        }
        for(int j=i;j<=n;j++)
        {
            int k;
            for(k=1;k<=m;k++)
            {
                sum[k]+=a[j][k];
            }
            int mx=calc_max(sum,k);
            ans=max(ans,mx);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

3.最大全1正方形

测试地址：https://www.luogu.org/problem/show?pid=1387

Problem：在一个n*m的只包含0和1的矩阵里找出一个不包含0的最大正方形，输出边长。

Key：

　　解法1：暴力维护二维前缀和，枚举边长来更新ans，其中求二维前缀和是容斥原理。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=109;
int n,m,sum[maxn][maxn],ans=0;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+x;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            for(int l=1;l+i<=n&&l+j<=m;l++)
            {
                int ok=sum[i+l][j+l]-sum[i+l][j]-sum[i][j+l]+sum[i][j];
                if(ok==l*l)
                {
                    ans=max(ans,l);
                }
            }
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

　　解法2：f[i][j]表示以（i,j）为右下角的时候，能延伸左上角到最大的的正方形。如果（i,j）这个点为0时直接不考虑，不为0时才计算转移方程f[i,j]=min(f[i-1,j-1],f[i-1,j],f[i,j-1])，转移方程的实际意义是右上方、左方、右方能扩展的最大边长+1 （加1的操作就是计算（i,j）本身）。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=109;
int f[maxn][maxn],n,m,ans=0;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    for(int j=1; j<=m; j++)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        if(x)//如果这一个格子是1
        {//f[i][j]表示以(i,j)为右下角的，能延伸左上角最大的（正方形）边长
            f[i][j]=min(f[i-1][j-1],min(f[i-1][j],f[i][j-1]))+1;
            //取min是为了验证是不是三个格子都能达到扩展要求
            //如果其中一个值为0，说明那个角没法扩展正方形
            //如果其中最小值为x，说明这个点最多扩展x，加他自己就是+1
            ans=max(ans,f[i][j]);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

4.最大全1矩形

测试地址：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1158

Problem：给出1个M*N的矩阵M1，里面的元素只有0或1，找出M1的一个子矩阵M2，M2中的元素只有1，并且M2的面积是最大的。输出M2的面积。

Key：

　　解法1：存储矩阵时，将非1的元素存成-inf，直接做一遍最大子矩形和。

　　解法2：处理每一行的每一个元素能向下延伸的最大全1长度，这样得到每一行都是一个可以“histogram求最大矩形”的序列。主要做法是对于每一行，从左到右遍历一遍刚刚得到的序列，用f[i]表示以i为起点时，向右能扩展的最大矩形面积，最后在所有的f数组中取max。

　　解法3：递推处理，f[i][j]表示第i行，第j列时，从i能延伸的最大全1长度。记录l和r两个数组，分别表示能向左或右扩展的最大位置。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=1009;
int l[maxn],r[maxn];
int f[maxn][maxn],n,m;
int main()
{
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        for(int j=1; j<=m; ++j)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            if(x==1)f[i][j]=f[i-1][j]+1;
            else f[i][j]=0;
        }
    int ans=0;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        for(int j=1; j<=m; ++j)
            l[j]=r[j]=j;
        f[i][0]=f[i][m+1]=-1;
        for(int j=1; j<=m; ++j)
        {
            while(f[i][j]<=f[i][l[j]-1])
                l[j]=l[l[j]-1];
        }
        for(int j=m; j>=1; --j)
        {
            while(f[i][j]<=f[i][r[j]+1])
                r[j]=r[r[j]+1];
        }
        for(int j=1; j<=m; ++j)
        {
            if(f[i][j])
            {
                int t=(r[j]-l[j]+1)*f[i][j];
                if(t>ans)ans=t;
            }
        }
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}