数据结构（三十三）最小生成树（Prim、Kruskal）

　　一、最小生成树的定义

　　一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

　　在一个网的所有生成树中，权值总和最小的生成树称为最小代价生成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称为最小生成树。

　　构造最小生成树的准则有以下3条：

• 只能使用该图中的边构造最小生成树
• 当且仅当使用n-1条边来连接图中的n个顶点
• 不能使用产生回路的边

　　对比两个算法，Kruskal算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而Prim算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更好一些。

　　二、普里姆（Prim）算法

　　1.Prim算法描述

　　假设N={V,{E}}是连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0，u0属于V}，TE={}开始。重复执行下面的操作：在所有u属于U，v属于V-U的边(u,v)中找一条代价最小的边(u0,v0)并加入集合TE，同时v0加入U，直到U=V为止。此时TE中必有n-1条边，则T=(V,{TE})为N的最小生成树。

　　2.Prim算法的C语言代码实现

/* Prim算法生成最小生成树  */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
    int min, i, j, k;
    int adjvex[MAXVEX];        /* 保存相关顶点下标 */
    int lowcost[MAXVEX];    /* 保存相关顶点间边的权值 */
    lowcost[0] = 0;/* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
            /* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
    adjvex[0] = 0;            /* 初始化第一个顶点下标为0 */
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)    /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
    {
        lowcost[i] = G.arc[0][i];    /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
        adjvex[i] = 0;                    /* 初始化都为v0的下标 */
    }
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)
    {
        min = INFINITY;    /* 初始化最小权值为∞， */
                        /* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
        j = 1;k = 0;
        while(j < G.numVertexes)    /* 循环全部顶点 */
        {
            if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)/* 如果权值不为0且权值小于min */
            {    
                min = lowcost[j];    /* 则让当前权值成为最小值 */
                k = j;            /* 将当前最小值的下标存入k */
            }
            j++;
        }
        printf("(%d, %d)
", adjvex[k], k);/* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
        lowcost[k] = 0;/* 将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
        for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)    /* 循环所有顶点 */
        {
            if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]) 
            {/* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
                lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
                adjvex[j] = k;                /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
            }
        }
    }
}

　　3.Prim算法的Java语言代码实现

package bigjun.iplab.adjacencyMatrix;
/**
 * 最小生成树之Prim算法
 */
public class MiniSpanTree_Prim {

    private static class CloseEdge{
        Object adjVex;                // 顶点符号
        int lowCost;                // 顶点对应的权值
        public CloseEdge(Object adjVex, int lowCost) {
            this.adjVex = adjVex;
            this.lowCost = lowCost;
        }
    }
    
    private static int getMinMum(CloseEdge[] closeEdges) {
        int min = Integer.MAX_VALUE;        // 初始化最小权值为正无穷
        int v = -1;                            // 顶点数组下标
        for (int i = 0; i < closeEdges.length; i++) {    // 遍历权值数组，找到最小的权值以及对应的顶点数组的下标
            if (closeEdges[i].lowCost != 0 && closeEdges[i].lowCost < min) {
                min = closeEdges[i].lowCost;
                v = i;
            }
        }
        return v;
    }
    
    // Prim算法构造图G的以u为起始点的最小生成树
    public static void Prim(AdjacencyMatrixGraphINF G, Object u) throws Exception{
        // 初始化一个二维最小生成树数组minSpanTree，由于最小生成树的边是n-1，所以数组第一个参数是G.getVexNum() - 1，第二个参数表示边的起点和终点符号，所以是2
        Object[][] minSpanTree = new Object[G.getVexNum() - 1][2];
        int count = 0;                                                // 最小生成树得到的边的序号
        // 初始化保存相关顶点和相关顶点间边的权值的数组对象
        CloseEdge[] closeEdges = new CloseEdge[G.getVexNum()];
        int k = G.locateVex(u);
        for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {
            if (j!=k) {
                closeEdges[j] = new CloseEdge(u, G.getArcs()[k][j]);// 将顶点u到其他各个顶点权值写入数组中
            }
        }
        closeEdges[k] = new CloseEdge(u, 0);                        // 加入u到自身的权值0
        for (int i = 1; i < G.getVexNum(); i++) {                    // 注意，这里从1开始，
            k = getMinMum(closeEdges);                                // 获取u到数组下标为k的顶点的权值最短
            minSpanTree[count][0] = closeEdges[k].adjVex;            // 最小生成树第一个值为u
            minSpanTree[count][1] = G.getVexs()[k];                    // 最小生成树第二个值为k对应的顶点
            count++;
            closeEdges[k].lowCost = 0;                                // 下标为k的顶点不参与最小权值的查找了
            for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) {
                if (G.getArcs()[k][j] < closeEdges[j].lowCost) {
                    closeEdges[j] = new CloseEdge(G.getVex(k), G.getArcs()[k][j]);
                }
            }
        }
        System.out.print("通过Prim算法得到的最小生成树序列为: {");
        for (Object[] Tree : minSpanTree) {
            System.out.print("(" + Tree[0].toString() + "-" + Tree[1].toString() + ")");
        }
        System.out.println("}");
    }
    
}

　　4.举例说明Prim算法实现过程

　　以下图为例：

　　

 　　测试类：

    // 手动创建一个用于测试最小生成树算法的无向网
    public static AdjacencyMatrixGraphINF createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree() {
        Object vexs_UDN[] = {"V0", "V1", "V2", "V3", "V4", "V5", "V6", "V7", "V8"};
        int arcsNum_UDN = 15;
        int[][] arcs_UDN = new int[vexs_UDN.length][vexs_UDN.length];    
        for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++)         // 构造无向图邻接矩阵
            for (int j = 0; j < vexs_UDN.length; j++) 
                if (i==j) {
                    arcs_UDN[i][j]=0;
                } else {
                    arcs_UDN[i][j] = arcs_UDN[i][j] = INFINITY;
                }
        
        arcs_UDN[0][1] = 10;
        arcs_UDN[0][5] = 11;
        arcs_UDN[1][2] = 18;
        arcs_UDN[1][6] = 16;
        arcs_UDN[1][8] = 12;
        arcs_UDN[2][3] = 22;
        arcs_UDN[2][8] = 8;
        arcs_UDN[3][4] = 20;
        arcs_UDN[3][6] = 24;
        arcs_UDN[3][7] = 16;
        arcs_UDN[3][8] = 21;
        arcs_UDN[4][5] = 26;
        arcs_UDN[4][7] = 7;
        arcs_UDN[5][6] = 17;
        arcs_UDN[6][7] = 19;
        
        for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++)         // 构造无向图邻接矩阵
            for (int j = i; j < vexs_UDN.length; j++) 
                arcs_UDN[j][i] = arcs_UDN[i][j];
        return new AdjMatGraph(GraphKind.UDN, vexs_UDN.length, arcsNum_UDN, vexs_UDN, arcs_UDN);
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {

        AdjMatGraph UDN_Graph = (AdjMatGraph) createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree();
        MiniSpanTree_Prim.Prim(UDN_Graph, "V0");
    }

　　输出为：

通过Prim算法得到的最小生成树序列为: {(V0-V1)(V0-V5)(V1-V8)(V8-V2)(V1-V6)(V6-V7)(V7-V4)(V7-V3)}

　　分析算法执行过程：

　　

从V0开始：
-count为0，k为0，closeEdges数组的
-lowCost为{0 10 INF INF INF 11 INF INF INF}，adjVex数组为{V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0，V0}
-比较lowCost，于是k为1，adjVex[1]为V0，minSpanTree[0]为（V0，V1），lowCost为{0 0 INF INF INF 11 INF INF INF}
-k为1，与V1的权值行比较，得到新的
-lowCost为：{0 0 18 INF INF 11 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V0，V0，V1，V0，V1}
-比较lowCost，于是k为5，adjVex[5]为V0，minSpanTree[1]为（V0，V5），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 12}
-k为5，与V5的权值行比较，得到新的
-lowCost为{0 0 18 INF 26 0 16 INF 12}，adjVex数组为{V0，V0，V1，V0，V5，V0，V1，V0，V1}
-比较lowCost，于是k为8，adjVex[8]为V1，minSpanTree[2]为（V1，V8），lowCost为{0 0 18 INF INF 0 16 INF 0}
...

　　三、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

　　1.Kruskal算法描述

　　Kruskal算法是根据边的权值递增的方式，依次找出权值最小的边建立的最小生成树，并且规定每次新增的边，不能造成生成树有回路，直到找到n-1条边为止。

　　Kruskal算法的基本思想是：假设图G=(V,{E})是一个具有n个顶点的连通无向网，T=(V,{TE}是图G的最小生成树，其中，V是T的顶点集，TE是T的边集，则构造最小生成树的步骤是：

• T的初始状态为T=(V,{空})，即开始时，最小生成树T是图G的生成零图。
• 将图G中的边按照权值从小到大的顺序依次选取，若选取的边未使生成树T形成回路，则加入TE中，否则舍弃，直至TE中包含了n-1条边为止。

　　2.Kruskal算法的C语言代码实现

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITY 65535

typedef struct
{
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

typedef struct
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge;   /* 对边集数组Edge结构的定义 */

/* 构件图 */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i, j;

    /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
    G->numEdges=15;
    G->numVertexes=9;

    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY;
        }
    }

    G->arc[0][1]=10;
    G->arc[0][5]=11; 
    G->arc[1][2]=18; 
    G->arc[1][8]=12; 
    G->arc[1][6]=16; 
    G->arc[2][8]=8; 
    G->arc[2][3]=22; 
    G->arc[3][8]=21; 
    G->arc[3][6]=24; 
    G->arc[3][7]=16;
    G->arc[3][4]=20;
    G->arc[4][7]=7; 
    G->arc[4][5]=26; 
    G->arc[5][6]=17; 
    G->arc[6][7]=19; 

    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }

}

/* 交换权值 以及头和尾 */
void Swapn(Edge *edges,int i, int j)
{
    int temp;
    temp = edges[i].begin;
    edges[i].begin = edges[j].begin;
    edges[j].begin = temp;
    temp = edges[i].end;
    edges[i].end = edges[j].end;
    edges[j].end = temp;
    temp = edges[i].weight;
    edges[i].weight = edges[j].weight;
    edges[j].weight = temp;
}

/* 对权值进行排序 */
void sort(Edge edges[],MGraph *G)
{
    int i, j;
    for ( i = 0; i < G->numEdges; i++)
    {
        for ( j = i + 1; j < G->numEdges; j++)
        {
            if (edges[i].weight > edges[j].weight)
            {
                Swapn(edges, i, j);
            }
        }
    }
    printf("权排序之后的为:
");
    for (i = 0; i < G->numEdges; i++)
    {
        printf("(%d, %d) %d
", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
    }

}

/* 查找连线顶点的尾部下标 */
int Find(int *parent, int f)
{
    while ( parent[f] > 0)
    {
        f = parent[f];
    }
    return f;
}

/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i, j, n, m;
    int k = 0;
    int parent[MAXVEX];/* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */
    
    Edge edges[MAXEDGE];/* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */

    /* 用来构建边集数组并排序********************* */
    for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++)
    {
        for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            if (G.arc[i][j]<INFINITY)
            {
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = G.arc[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    sort(edges, &G);
    /* ******************************************* */


    for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
        parent[i] = 0;    /* 初始化数组值为0 */

    printf("打印最小生成树：
");
    for (i = 0; i < G.numEdges; i++)    /* 循环每一条边 */
    {
        n = Find(parent,edges[i].begin);
        m = Find(parent,edges[i].end);
        if (n != m) /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
        {
            parent[n] = m;    /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
                            /* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
            printf("(%d, %d) %d
", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
        }
    }
}

int main(void)
{
    MGraph G;
    CreateMGraph(&G);
    MiniSpanTree_Kruskal(G);
    return 0;
}

　　3.Kruskal算法的Java语言代码实现

package bigjun.iplab.adjacencyMatrix;
/**
 * 最小生成树之Kruskal算法
 */
public class MiniSpanTree_Kruskal {
    
    private final static int INFINITY = Integer.MAX_VALUE;    // 表示正无穷
    
    private static class Edge{
        int begin;        // 边的起点
        int weight;        // 边的权值
        int end;        // 边的终点
        
        public Edge(int begin, int weight, int end) {
            this.begin = begin;
            this.weight = weight;
            this.end = end;
        }
    }

    // 交换两条边的各个属性，包括起点，终点和权值
    private static void Swap_edges(Edge[] edges, int i, int j) {
        int temp;
        temp = edges[i].begin;
        edges[i].begin = edges[j].begin;
        edges[j].begin = temp;
        temp = edges[i].weight;
        edges[i].weight = edges[j].weight;
        edges[j].weight = temp;
        temp = edges[i].end;
        edges[i].end = edges[j].end;
        edges[j].end = temp;
    }
    
    // 对边集数组按照权值进行排序
    private static void Sorted_Edge(Edge[] edges) {
        for (int i = 0; i < edges.length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < edges.length; j++) {
                if (edges[i].weight > edges[j].weight) {
                    Swap_edges(edges, i, j);
                }
            }
        }
        
    }
    
    // 查找顶点的尾部下标
    private static int Find_indexOfParent(int[] parent, int f) {
        while (parent[f] > 0) {
            f = parent[f];
        }
        return f;
    }
    
    public static void Kruskal(AdjacencyMatrixGraphINF G) throws Exception {
        Edge[] edges = new Edge[G.getArcNum()];    // 定义边集数组
        int[] parent = new int[G.getVexNum()];    // 定义一组数组用来判断边与边是否形成回路
        int k = 0;
        for (int i = 0; i < G.getVexNum() - 1; i++) {    // 将邻接矩阵G转化为边集数组edges
            for (int j = i + 1; j < G.getVexNum(); j++) {
                if (G.getArcs()[i][j] < INFINITY) {
                    edges[k] = new Edge(i, G.getArcs()[i][j], j);
                    k++;
                }
            }
        }
        Sorted_Edge(edges);                            // 对边集数组按照权值从小到大排序
        for (int i = 0; i < G.getVexNum(); i++) {    // 初始化判断边与边是否形成回路数组
            parent[i] = 0;
        }
        System.out.print("通过Kruskal算法得到的最小生成树序列为: {");
        for (int i = 0; i < edges.length; i++) {    // 遍历每一条边
            int n = Find_indexOfParent(parent, edges[i].begin);
            int m = Find_indexOfParent(parent, edges[i].end);
            if (n!=m) {                                // 如果不构成回路的话
                parent[n] = m;                        // 将此边的结尾项放在下标为起点的parent中，表示此顶点已经在生成树集合中
                System.out.print("(" + G.getVex(edges[i].begin) + "-" + G.getVex(edges[i].end) + ")");
            }
        }
        System.out.println("}");
    }
}

　　4.Kruskal算法的距离说明实现过程

　　以下图为例：

　　

　　测试代码：

    // 手动创建一个用于测试最小生成树算法的无向网
    public static AdjacencyMatrixGraphINF createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree() {
        Object vexs_UDN[] = {"V0", "V1", "V2", "V3", "V4", "V5", "V6", "V7", "V8"};
        int arcsNum_UDN = 15;
        int[][] arcs_UDN = new int[vexs_UDN.length][vexs_UDN.length];    
        for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++)         // 构造无向图邻接矩阵
            for (int j = 0; j < vexs_UDN.length; j++) 
                if (i==j) {
                    arcs_UDN[i][j]=0;
                } else {
                    arcs_UDN[i][j] = arcs_UDN[i][j] = INFINITY;
                }
        
        arcs_UDN[0][1] = 10;
        arcs_UDN[0][5] = 11;
        arcs_UDN[1][2] = 18;
        arcs_UDN[1][6] = 16;
        arcs_UDN[1][8] = 12;
        arcs_UDN[2][3] = 22;
        arcs_UDN[2][8] = 8;
        arcs_UDN[3][4] = 20;
        arcs_UDN[3][6] = 24;
        arcs_UDN[3][7] = 16;
        arcs_UDN[3][8] = 21;
        arcs_UDN[4][5] = 26;
        arcs_UDN[4][7] = 7;
        arcs_UDN[5][6] = 17;
        arcs_UDN[6][7] = 19;
        
        for (int i = 0; i < vexs_UDN.length; i++)         // 构造无向图邻接矩阵
            for (int j = i; j < vexs_UDN.length; j++) 
                arcs_UDN[j][i] = arcs_UDN[i][j];
        return new AdjMatGraph(GraphKind.UDN, vexs_UDN.length, arcsNum_UDN, vexs_UDN, arcs_UDN);
    }

    public static void main(String[] args) throws Exception {

        AdjMatGraph UDN_Graph = (AdjMatGraph) createUDNByYourHand_ForMiniSpanTree();
        MiniSpanTree_Prim.Prim(UDN_Graph, "V0");
        MiniSpanTree_Kruskal.Kruskal(UDN_Graph);
    }

　　输出为：

通过Kruskal算法得到的最小生成树序列为: {(V4-V7)(V2-V8)(V0-V1)(V0-V5)(V1-V8)(V3-V7)(V1-V6)(V6-V7)}

　　分析算法执行过程（重点分析如何利用parent数组来判断新加入的边是否构成回路）：

　　

i=0，parent[]={0,0,0,0,0,0,0,0,0},edge[0].begin=4,edge[0].end=7,n=4,m=7,parent[4]=7,打印（V4,V7）
i=1，parent[]={0,0,0,0,7,0,0,0,0},edge[1].begin=2,edge[1].end=8,n=2,m=8,parent[2]=8,打印（V2,V8）
i=2，parent[]={0,0,8,0,7,0,0,0,0},edge[2].begin=0,edge[2].end=1,n=0,m=1,parent[0]=1,打印（V0,V1）
i=3，parent[]={1,0,8,0,7,0,0,0,0},edge[3].begin=0,edge[3].end=5,n=1,m=5,parent[1]=5,打印（V0,V5）
i=4，parent[]={1,5,8,0,7,0,0,0,0},edge[4].begin=1,edge[4].end=8,n=5,m=8,parent[5]=8,打印（V1,V8）
i=5，parent[]={1,5,8,0,7,8,0,0,0},edge[5].begin=3,edge[5].end=7,n=3,m=7,parent[3]=7,打印（V3,V7）
i=6，parent[]={1,5,8,7,7,8,0,0,0},edge[6].begin=1,edge[6].end=6,n=8,m=6,parent[8]=6,打印（V1,V6）
i=6时，parent[]={1,5,8,7,7,8,0,0,6}，如上右图，有两个连通的边集合A与B共同被纳入到最小生成树中，其中，对于集合A来说，
parent[0]=1表示V0和V1已经在生成树的边集合A中，
parent[1]=5表示V1和V5也在边集合A中，
同理parent[5]=8表示V5和V8在边集合A中，parent[8]=6表示V8和V6在边集合A中
此时，parent[6]=0表示集合A暂时到头，所以要重点关注的就是parent[6]的值
同理，边集合B中，parent[3]=7，parent[4]=7，parent[7]=0，表示V3、V4、V7在另一个边集合B中并且暂时到头，所以要重点关注的就是parent[7]的值

i=7时，parent[]={1,5,8,7,7,8,0,0,6},edge[7].begin=5,edge[7].end=6, parent[5]=8，parent[8]=6，parent[6]=0，即n=6,而parent[6]=0即m=7,
此时n=m=6，所以不能打印，实际上也就是如果parent[6]=6就表示V6到V6，这就是环路了！另一方面，直观来看（V5,V6)这条边加上去之后会构成环路，所以就不行。跳出循环。

i=8，同理
i=9，parent[]={1,5,8,7,7,8,0,0,6,edge[9].begin=6,edge[9].end=7,n=6,m=7,parent[6]=7,打印（V6,V7）
i=10~14，同理。