27、证明尺规作图不能三等分角。
关键词：galois理论
26、令 $a_1, cdots, a_n$ 为 $mathbb{R}^d$ 中长度至少为 $1$ 的向量，$R_1, cdots, R_k$ 是 $mathbb{R}^d$ 中的 $k$ 个开区域，对于位于同一个区域 $R_i$ 中的任何 $oldsymbol x, oldsymbol y$，都有 $|oldsymbol x-oldsymbol y| < 2$。那么在这些区域的并 $igcap_i R_i$ 中的线性组合 $sum_{i=1}^{n} epsilon_i oldsymbol a_i, epsilon_i in {1,-1}$ 的个数，至多是 $k$ 个最大的二项式系数 $n choose j$的和。
特别地，当 $k=1$，就得到界 ${n choose lfloor n/2 floor }$ 。
关键词：归纳
来源：《数学天书中的证明(第五版)》24章
25、资源分享：《一个数学家的辩白》（哈代）
链接：https://pan.baidu.com/s/1aP6OkM-2uUDhV8XgHxMW7g 提取码：ump2
24、一个长的导电圆柱沿轴的方向劈成两半并保持其电势为 $V_0$ 与 $0$。整个系统中静电荷为零。计算空间电势的分布。
关键词：
方法一：保角变换
方法二：解拉普拉斯方程
23、求扁旋转椭球面形导体的电容。已知旋转椭球面方程为
$$
frac{x^2}{b^2}+frac{y^2+z^2}{a^2}=1
$$
式中，常数 $a,b$ 满足 $a>b，a^2=b^2+f^2$
关键词：
方法一：椭球坐标系解拉普拉斯方程
方法二：类比，极限思想，见《物理学大题典·电磁学与电动力学》1.53
22、设平面电磁波垂直入射到一金属圆柱面上。若电磁波的频率一定，其电矢量与柱轴平行，求被柱面散射的电磁波。
来源：《数学物理方法》(吴崇试) 17.6
关键词：Bessel 方程, Hankel 函数。
21、无限大正方形网格，每条边电阻为r，求(0,0)到(n,m)的等效电阻大小。
关键词：二维傅立叶变换
20、codeforces gym102268 E https://codeforces.com/gym/102268/problem/E
关键词：
方法一：解稀疏线性方程组 from 钟子谦. 两类递推数列的性质和应用, IOI2019 中国国家候选队论文集
方法二：稀疏图上的随机游走 from 王修涵. 浅谈图模型上的随机游走问题. IOI2019 中国国家候选队论文集,
19、 设 $n$ 为偶数，求 $$ zeta(n) = sum_{i=1}^{+infty} frac{1}{i^n} $$
关键词：
方法一：傅里叶分析。方法二：留数法。
多种解法整理：https://www.cnblogs.com/Blog-of-Eden/p/13370162.html
18、1. 在长为 $L$ 、高为 $H$ 的矩形区域内，求解拉普拉斯方程：
$$
egin{aligned}
PDE&:
abla^2 u = frac{partial^2 u}{partial x^2}+frac{partial^2 u}{partial y^2} = 0
\BC1&: u(0,y) =g_1(y)
\BC2&: u(L,y) =g_2(y)
\BC3&: u(x,0) =f_1(x)
\BC3&: u(x,H) =f_2(x)
end{aligned}
$$
2. 在半径为 $a$ 的圆域内，求解拉普拉斯方程：
$$
egin{aligned}
PDE&:
abla^2 u = frac{1}{r} frac{partial}{partial r}left(rfrac{partial u}{partial r}
ight)+frac{1}{r^2}frac{partial^2 u}{partial heta^2} =0
\BC&: u(a, heta) =f( heta)
end{aligned}
$$
来源：《实用偏微分方程》(Richard Haberman) 2.5
17、给出以下两个定理的双射证明：
$$
egin{aligned}
&prod_{kge 1}(1+x^k)=prod_{jge 1}frac{1}{1-x^{2j-1}} \&prod_{kge 1}(1-x^k)=1+sum_{jge 1}(-1)^jleft(x^{frac{3j^2-j}{2}}-x^{frac{3j^2+j}{2}}
ight)
end{aligned}
$$
来源：《Proofs from THE BOOK》第五版 第33章。
关键词：五边形数定理。
16、求：
$$
int _0^1 frac{ 1-ln(1-x+x^2) } { (1-x+x^2)^2 }dx
$$
来源：https://tieba.baidu.com/p/6560056213
15、求：
$$
int _0^{infty}frac{sin(2cos^2x)cosh(sin2x)}{1+x^2}dx
$$
来源：http://tieba.baidu.com/p/6555395541
关键词：泰勒展开，拉普拉斯变换。
14、求证：
$$
int_0^{infty}left(frac{1}{2}-FresnelS(x)
ight)ln(x)dx=-frac{2+gamma+ln(frac{pi}{2})}{2pi}
$$
其中 $FresnelS(x)=int_0^x sin(frac{pi t^2}{2})dt$，$gamma$ 是欧拉常数。
来源：http://tieba.baidu.com/p/6553129773
关键词：Mellin变换。
13、$x_1, x_2, ..., x_m$ 为 $m$ 个互不相同的实数，$n>m-1$ 且为正整数，求 $$sum_{i=1}^{ile m} frac{x_i^n}{ prod_{j ot=i}(x_i-x_j) }$$
关键词：拉格朗日插值 或 特征多项式。
12、codeforces 947E https://codeforces.com/problemset/problem/947/E
关键词：矩阵对角化。
11、codechef MARCH13 CHANGE http://www.codechef.com/MARCH13/problems/CHANGE
10、codeforces gym102129 G https://codeforces.com/gym/102129/problem/G
关键词：$mathcal{O}(n^2)$ 做法：结式，消元。
$mathcal{O}(n log n)$ 做法：循环矩阵，Bluestein's algorithm。
9、$(frac{d}{p})$ 为 $Legendre$ 符号。证明：若 $p$ 和 $q$ 为奇素数，则 $(frac{q}{p})cdot (frac{p}{q}) = (-1)^{(p-1)/2cdot (q-1)/2}$
关键词：Gauss 二次互反律。
8、求 $n$ 维空间内单位球体的体积。（两种求法）
关键词：极坐标变换 or 利用空间角。
7、证明：当 $m ge 1$，必有一素数 $p$ 满足 $m < p le 2m$。
关键词：Bertrand 假设。
6、$a, b$是大于 $1$ 的正整数，若对任意正整数 $n$，满足 $a^n-1|b^n-1$，求证 $b=a^k$ （$k$为某一正整数）。
关键词：最大根方法。
解法来源：最大根方法——一段往事 - 聂子佩的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/37061170
5、$p$ 为奇素数，$p-1|m$，证明 $sum_{i ge 0} {m choose icdot (p-1)} equiv 2+p(m+1) (mod p^2)$。
关键词：单位根反演。
4、$a_0=2, a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1$，则若 $p|a_n, p≠2,3$, 且$p$为质数，那么 $2^{n+3}|p^2-1$。
关键词：模意义下无理数。
3、对于一张任意图，若奇圈数 $ le 2015$，那么该图可对节点 $11$ 染色。
2、对于一张任意图 $< V，E>$，存在一个点集 $S$ 属于 $V$，满足 $V$ 中的每个点都有奇数个邻居（包括自己）在 $S$ 中。
关键词：
证法一：线性代数。证法二：归纳（两种归纳证法）。
1、求 $3^x-5^y=2$ 的所有正整数解。
来源：《初等数论》(潘承洞，潘承彪) 第七章。
关键词：Pell 方程。