P7324 [WC2021] 表达式求值
闲话
WC2021 我只得了 20 分，三道题总共 20 分。我是下场了突然后知后觉这件事的，主要原因是我开了 C++11，然后 T1 T2 都没分了。在洛谷上测本来能拿银牌的。T1 的乱搞能拿 48，还挺高的。
幸亏咱们陕西省选不看冬令营成绩。幸亏是在省选前犯的这个错误。告诫后人和自己，写题前一定要看编译选项，否则只能后悔莫及。
T2 场上写的是不带问号的 (O(n|E|)) 和带问号 (O(n|E|m^2)) 的 70 分暴力。后者可以用 minmax 卷积优化掉一个 (m) 获得 85 分的好成绩。
思路
首先要会上面提到的带问号的暴力，不需要优化。
我在场上写的是这样子的：
int a[maxn][10],but[maxn][10],tmp[10];
int* solve(int l,const int &r,const int *a){
l++;
int *ans=s[l]=='('?solve(l,to[l],a):but[l];//这里的 to 是预处理的括号匹配位置，完全可以用把 l 设成全局变量的方法解决
l=s[l]=='('?to[l]+1:l+1;
while(l+1<r){
char op=s[l++];
int *res=s[l]=='('?solve(l,to[l],a):but[l];
l=s[l]=='('?to[l]+1:l+1;
switch(op){
case '<':{
memset(tmp,0,sizeof tmp);
for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) if(a[i]<a[j]) tmp[i]=(tmp[i]+1ll*ans[i]*res[j])%mod;
else tmp[j]=(tmp[j]+1ll*ans[i]*res[j])%mod;
for(int i=0;i<m;i++) ans[i]=tmp[i];
break;
}
case '>':{
memset(tmp,0,sizeof tmp);
for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) if(a[i]>a[j]) tmp[i]=(tmp[i]+1ll*ans[i]*res[j])%mod;
else tmp[j]=(tmp[j]+1ll*ans[i]*res[j])%mod;
for(int i=0;i<m;i++) ans[i]=tmp[i];
break;
}
case '?':{
memset(tmp,0,sizeof tmp);
for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<m;j++) tmp[i]=(tmp[i]+1ll*ans[i]*res[j])%mod,tmp[j]=(tmp[j]+1ll*ans[i]*res[j])%mod;
for(int i=0;i<m;i++) ans[i]=tmp[i];
break;
}
}
}
return ans;
}
inline void work(){
for(int i=0;i<m;i++) for(int j=1;j<=n;j++) a[j][i]=star::a[i][j-1];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=len;j++) for(int k=0;k<m;k++) but[j][k]=(isdigit(s[j]) and s[j]-'0'==k);
int* res=solve(1,len,a[i]);
for(int j=0;j<m;j++)
ans=(ans+1ll*res[j]*a[i][j])%mod;
}
printf("%d
",ans);
}
即把 (n) 组数分开来讨论，求每种数贡献的方案数，最后乘上值加起来。
那么问题就在于求每种数的方案数，这样的工作我们需要做 (n) 遍，非常不划算。
然后发现，对于大小关系相同的每组数，每种数贡献的方案数是相同的，改变的只是它们的值，我们没有必要每次都算一遍方案数。
发现，一个数在一组数中的相对大小关系的情况总数只有 (2^m) 种，即是否比该数大。
那么我们预处理出一个数的所有相对大小关系总数（这个部分是 (O(2^m|E|)) 的），然后对于 (n) 组数每个枚举 (m) 个数差分统计答案即可（差分得到该数的方案数。此部分是 (O(nmlogm)) 的）。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<utility>
using namespace std;
inline int read(){
int w=0,x=0;char c=getchar();
while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
while(isdigit(c))x=x*10+(c^48),c=getchar();
return w?-x:x;
}
namespace star
{
const int maxn=5e4+10,maxm=12,S=1050,mod=1e9+7;
int n,m,a[maxn][maxm],D,f[S],pos,b[maxm],ans;
char s[maxn];
pair<int,int> solve(){
int num=0;bool ok=true;char lst='>';
pair<int,int> ans(1,0),now,tmp;
while(lst!=')' and ++pos)
if(isdigit(s[pos])) num=s[pos]^48;
else if(s[pos]=='(') now=solve(),ok=false;
else ok and (now=make_pair((D>>num)&1,(D>>num)&1^1),0),
ok=true,tmp=make_pair(0,0),
lst!='>' and (tmp.second=(tmp.second+1ll*ans.second*now.second)%mod,tmp.first=(tmp.first+1ll*(ans.first+ans.second)*(now.first+now.second)-1ll*ans.second*now.second%mod+mod)%mod),
lst!='<' and (tmp.first=(tmp.first+1ll*ans.first*now.first)%mod, tmp.second=(tmp.second+1ll*(ans.first+ans.second)*(now.first+now.second)-1ll*ans.first*now.first%mod+mod)%mod),
ans=tmp,lst=s[pos],num=0;
return ans;
}
inline bool cmp(const int &x,const int &y){return a[pos][x]<a[pos][y];}
inline void work(){
n=read(),m=read();
for(int i=0;i<m;i++) for(int j=0;j<n;j++) a[j][i]=read();
scanf("%s",s+1);s[strlen(s+1)+1]=')';
for(D=0;D<(1<<m);D++) pos=0,f[D]=solve().second;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<m;j++) b[j]=j;
pos=i;sort(b,b+m,cmp);
for(int j=0,d=0;j<m;d|=(1<<b[j++]))
ans=(ans+1ll*(a[i][b[j]]-(j?a[i][b[j-1]]:0))*f[d])%mod;
}
printf("%d
",ans);
}
}
signed main(){
star::work();
return 0;
}