「学习笔记」斯特林数
第二类斯特林数
组合意义: 将 (n) 个有区别的小球放进 (m) 个无区别的盒子里,且没有空盒的方案数为第二类斯特林数, 记为 (S(n,m)).
递推式: (S(n,m) = m*S(n-1,m) + S(n-1,m-1))
组合意义证明: 把一个新的小球放进盒子里, 可以选择放进 (m) 个盒子中的一个, 也可以放进一个新的盒子中.
计算公式: (S(n,m) = frac{1}{m!} sum_{i=0}^{m} (-1)^i inom{m}{i} (m-i)^n)
理解: 容斥, 枚举哪几个盒子是空的, 用总方案数减去至少一个空盒, 加上至少两个空盒......., 最后再去除排列的重复度.
推论1 : 当 (n<m) 时, (sum_{i=0}^{m} (-1)^i inom{m}{i} (m-i)^n = 0).
组合意义证明: 当 (n<m) 时, 无论怎么放都会有空盒, 所以 (S(n,m) = 0), 因为 (frac{1}{m!} ge 0), 所以 (sum_{i=0}^{m} (-1)^i inom{m}{i} (m-i)^n = 0).
推论2 : (sum_{i=0}^{m} (-1)^i inom{m}{i} (m-i)^m = m!)
组合意义证明: (S(m,m)=1), 所以 (frac{1}{m!} sum_{i=0}^{m} (-1)^i inom{m}{i} (m-i)^n = 1), 等式两边同乘一个 (m!) 即可