Bzoj1101: [POI2007]Zap 莫比乌斯反演+整除分块

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101

莫比乌斯反演

1101: [POI2007]Zap

设 (f(i)) 表示 ((x,y)) (xin [1,a],yin [1,b]) 满足 (gcd(x,y)=i) 的对数
那么答案就是 (f(d))

构造一个函数 (g(i)) 表示 ((x,y)) (xin [1,a],yin [1,b]) 满足 (gcd(x,y)|i) 的对数

于是 (g) 与 (f) 满足关系式
(g(i)=sumlimits_{i|k}f(k))
满足莫比乌斯反演的第二种情况
于是套公式反演得
(f(i)=sumlimits_{i|k}mu(frac {k}{i})g(k))
对于 (g(i)) 考虑 (gcd(x,y)|i) 即 (x) 与 (y) 都有 (i) 这个因子
那么 (x) 有 ([frac{a}{i}]) 个取值 (y) 有 ([frac{b}{i}]) 个取值
(g(i)=[frac{a}{i}] imes[frac{b}{i}])
于是答案

[egin{aligned} ans=f(d)&=sumlimits_{d|k}mu(frac {k}{d})g(k)\ &=sumlimits_{d|k}mu(frac {k}{d})[frac{a}{k}] imes[frac{b}{k}] end{aligned} ]

设 (t=frac{k}{d},k=d imes t;)

[egin{aligned} ans=sumlimits_{t=1}^{min([frac{a}{d}],[frac{b}{d}])}mu(t)[frac{frac{a}{t}}{d}][frac{frac{b}{t}}{d}] end{aligned} ]

筛一下 (mu(i))
于是就可以做到 (O(n imes t))
但是效率不行呀
观察到一个形似 (sumlimits_{i=1}^{ile n}[frac{x}{i}]) 的式子。
整除分块：(选自他人博客，但是找不到了博客地址了QAQ)
整除分块可以做到 (O(sqrt{n})：)

正确性证明

开始时左端点是 (1) 显然是没有问题的，而以后的每一次操作 (L=R+1)，因此，我们只需要证明每次的 (R) 都为正确的即可。
首先([frac {n}{i}])一定是属于该除数区间的，所以我们只需要证明该数为区间上界。

反证法。设X=([frac {n}{i}])不是我们想要得到的 (R)，那么至少有 (X+1)属于答案区间。

于是有([frac{N}{X+1}⌋=i)，因为是下取整，于是有(N≥i imes (X+1))，于是有 ([frac{N}{i}]≥([frac{i×(X+1)}{i}]=X+1))

而根据定义有 (X=[frac{N}{i}])，于是有 (X≥X+1)，与事实相悖。

复杂度证明

分情况讨论。

当所选除数 (le sqrt{N}) 时，显然这一部分的除数区间个数不会超过 (sqrt{N}) 个。

当所选除数(geq sqrt{N}) 时，得到的商 (le sqrt{N})，商不超过 (sqrt{N}) 种，所以除数区间也不会超过 (sqrt{N}) 个。

于是总时间复杂度 (O(sqrt{N}))。