[NOI2016] 循环之美

一、题目

点此看题

二、解法

首先考虑 (frac{x}{y}) 怎样才是一个纯循环小数，因为要求值不同，所以可以先保证 ((x,y)=1) ，最开始的余数是 (x) ，每次取余之后会乘 (k) ，进入到下一位的除法，如果我们的余数出现了循环节那么就说明是纯循环小数：

[xk^l=xmod y ]

由于 ((x,y)=1) ，推出 (k^l=1mod y) ，那么当且仅当 ((k,y)=1) 是纯循环小数，可以开始推式子了：

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[(i,j)=1][(j,k)=1] ]

由于后面的柿子变量要少一些（(k) 是固定的），所以可以反演后面的部分：

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[(i,j)=1]sum_{d|(j,k)}mu(d) ]

然后套路地把 (d) 提到最前面：

[sum_{d|k}mu(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{m/d}(i,jd)=1 ]

[sum_{d|k}mu(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{m/d}[(i,j)=1][(i,d)=1] ]

做到现在感觉还是很难，但这种题一般是有套路的，也就是我们把它转化成一个递归的问题，然后递归的状态数不多，而且边界是可以用杜教筛处理的，令 (f(n,m,k)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[(i,j)=1][(j,k)=1]) ，则：

[sum_{d|k}mu(d)f(frac{m}{d},n,d) ]

然后就可以递归了，(k=1) 是边界，反演一下可以知道答案是：(sum_{d=1}^nmu(d)frac{n}{d}frac{m}{d})，可以用杜教筛加数论分块。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 1000000;
const int M = N+5;
#define int long long
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,k,cnt,cnm,tot,p[M],mu[M],vis[M],d[M],sm[M];map<int,int> sum;
struct jzm
{
	int x,y,z;
	jzm(int X=0,int Y=0,int Z=0) : x(X) , y(Y) , z(Z) {}
	bool operator < (const jzm &r) const
	{
		if(x!=r.x) return x<r.x;
		if(y!=r.y) return y<r.y;
		return z<r.z;
	}
};map<jzm,int> ppl;
void init(int n)
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			mu[i]=-1;
			p[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt && i*p[j]<=n;j++)
		{
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0) break;
			mu[i*p[j]]=-mu[i]; 
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) sm[i]=mu[i]+sm[i-1];
}
int get(int n)
{
	if(n<=N) return sm[n];
	if(sum[n]) return sum[n];
	int ans=1;
	for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)//这个地方第二遍错了 
	{
		r=n/(n/l);
		ans-=(r-l+1)*get(n/l);
	}
	return sum[n]=ans;
}
int zy(int n,int m,int k)
{
	if(!n || !m) return 0;
	if(ppl[jzm(n,m,k)]) return ppl[jzm(n,m,k)];
	int res=0;
	if(k==1)
	{
		if(n>m) swap(n,m);
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
		{
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			res+=(get(r)-get(l-1))*(n/l)*(m/l);
		}
		return ppl[jzm(n,m,k)]=ppl[jzm(m,n,k)]=res;
	}
	for(int i=1;i<=tot && d[i]<=k;i++)
		if(k%d[i]==0)
			res+=mu[d[i]]*zy(m/d[i],n,d[i]);
	return ppl[jzm(n,m,k)]=res;
}
signed main()
{
	init(N);
	n=read();m=read();k=read();
	for(int i=1;i<=k;i++)
		if(k%i==0 && mu[i]) d[++tot]=i;
	printf("%lld
",zy(n,m,k));
}