[题解] [JLOI2011]飞行路线

[JLOI2011]飞行路线 题解

题目TP门

题目描述

Alice和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在n个城市设有业务，设这些城市分别标记为0到n-1，一共有m种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多k种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？

输入格式

数据的第一行有三个整数，n,m,k，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。
第二行有两个整数，s,t，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。(0<=s,t<n)
接下来有m行，每行三个整数，a,b,c，表示存在一种航线，能从城市a到达城市b，或从城市b到达城市a，价格为c。(0<=a,b<n,a与b不相等，0<=c<=1000)

输出格式

只有一行，包含一个整数，为最少花费。

样例

样例输入

5 6 1
0 4
0 1 5
1 2 5
2 3 5
3 4 5
2 3 3
0 2 100

样例输出

8

数据范围与提示
对于30%的数据,2<=n<=50,1<=m<=300,k=0;

对于50%的数据,2<=n<=600,1<=m<=6000,0<=k<=1;

对于100%的数据,2<=n<=10000,1<=m<=50000,0<=k<=10.

---

解析

10分做法：
爆搜删边，求出其最小解法。

#include <map>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
const int MAXM = 5e5 + 5;
struct Node {
	int v, m;
	Node() {}
	Node(int V, int M) {
		v = V;
		m = M;
	}
	friend bool operator < (Node x, Node y) {
		return x.m > y.m;
	}
};
priority_queue<Node> q;
map<pair<int, int>, int> mp;
map<pair<int, int>, bool> vis;
map<pair<int, int>, bool> vis1;
vector<Node> a[MAXN];
int d[MAXN], x[MAXM], y[MAXM];
bool f[MAXN];
int n, m, S, T, s, minn = 0x7f7f7f7f;
void Read();
void dfs(int, int);
int Dijkstra(int, int);
int main() {
	Read();
	dfs(1, 0);
	cout << minn;
	return 0;
}
void dfs(int now, int last) {
	if(last == s)
		minn = min(minn, Dijkstra(S, T));
	if(now == m + 1)
		return;
	a[x[now]].push_back(Node(y[now], 0));
	a[y[now]].push_back(Node(x[now], 0));
	dfs(now + 1, last + 1);
	a[x[now]].pop_back();
	a[y[now]].pop_back();
	dfs(now + 1, last);
}
void Read() {
	scanf("%d %d %d %d %d", &n, &m, &s, &S, &T);
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int A, B, C;
		scanf("%d %d %d", &A, &B, &C);
		x[i] = A; y[i] = B;
		if(!vis[make_pair(A, B)]) {
			mp[make_pair(A, B)] = C;
			mp[make_pair(B, A)] = C;
			vis[make_pair(A, B)] = 1;
			vis[make_pair(B, A)] = 1;
		}
		else {
			mp[make_pair(A, B)] = min(mp[make_pair(A, B)], C);
			mp[make_pair(B, A)] = mp[make_pair(A, B)];
		}
	}
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		if(!vis1[make_pair(x[i], y[i])]) {
			a[x[i]].push_back(Node(y[i], mp[make_pair(x[i], y[i])]));
			a[y[i]].push_back(Node(x[i], mp[make_pair(x[i], y[i])]));
			vis1[make_pair(x[i], y[i])] = 1;
			vis1[make_pair(y[i], x[i])] = 1;
		}
	}
}
int Dijkstra(int c, int t) {
	q.push(Node(c, 0));
	memset(d, 0x3f, sizeof(d));
	memset(f, 0, sizeof(f));
	d[c] = 0;
	while(!q.empty()) {
		Node now = q.top();
		q.pop();
		int i = now.v;
		if(f[i]) continue;
		f[i] = 1;
		int SIZ = a[i].size();
		for(int j = 0; j < SIZ; j++) {
			if(d[a[i][j].v] > d[i] + a[i][j].m) {
				d[a[i][j].v] = d[i] + a[i][j].m;
				q.push(Node(a[i][j].v, d[a[i][j].v]));
			}
		}
	}
	return d[t];
}

当然，这是考试时实在没想到正解而做出的无奈之举。
可以发现k<=10，范围极小。
所以本题就可以用到分层图：

由上图可知：复制k+1份图连接相邻两层的对应点，由题意得：每层图由长度为0的边相连，就可以等价于有k次机会能够免费。再跑一边最短路Dijkstra即可。
所以说这道题就是一道板题。

正解C++代码:

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5;
const int MAXM = 1e6 + 5;
struct Node {
	int v, m;
	Node() {}
	Node(int V, int M) {
		v = V;
		m = M;
	}
	friend bool operator < (Node x, Node y) {
		return x.m > y.m;
	}
};
priority_queue<Node> q;
vector<Node> a[MAXN];
int d[MAXM], x[MAXM], y[MAXM];
bool f[MAXN];
int n, m, S, T, k, minn = 0x7f7f7f7f;
void Read();
int Dijkstra(int, int);
int main() {
	Read(); 
	cout << Dijkstra(S, T + k * n);
	return 0;
}
void Read() {
	scanf("%d %d %d %d %d", &n, &m, &k, &S, &T);
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v, w;
		scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
		a[u].push_back(Node(v, w));
		a[v].push_back(Node(u, w));
		for(int j = 1; j <= k; j++) {
			a[u + (j - 1) * n].push_back(Node(v + j * n, 0));
			a[v + (j - 1) * n].push_back(Node(u + j * n, 0));
			a[u + j * n].push_back(Node(v + j * n, w));
			a[v + j * n].push_back(Node(u + j * n, w));
        }
	}
	for(int i = 1; i <= k; i++)
		a[T + (i - 1) * n].push_back(Node(T + i * n, 0));
}
int Dijkstra(int c, int t) {
	q.push(Node(c, 0));
	memset(d, 0x7f, sizeof(d));
	memset(f, 0, sizeof(f));
	d[c] = 0;
	while(!q.empty()) {
		Node now = q.top();
		q.pop();
		int i = now.v;
		if(f[i]) continue;
		f[i] = 1;
		int SIZ = a[i].size();
		for(int j = 0; j < SIZ; j++) {
			if(d[a[i][j].v] > d[i] + a[i][j].m) {
				d[a[i][j].v] = d[i] + a[i][j].m;
				q.push(Node(a[i][j].v, d[a[i][j].v]));
			}
		}
	}
	return d[t];
}