卡特兰数经典 ( exttt{AB}) 分拆问题。
分析：
题意相当于排列 (n) 个 ( exttt A) 和 (n) 个 ( exttt B)，使得相邻 ( exttt{AB})（有序！）消掉，然后左右元素并到一起再消，最后消完的序列个数。
设 ( exttt{AB}) 为一个组“1”，( exttt{AB}) 自嵌套一次为一个组“2”（即 ( exttt{AABB})），以此类推。
后面大多数数字指组“数字”
题意即转换为一个数 (n)，求 (n) 分解成若干个正整数之和的方案数。
神犇到这一步就可以切掉了吧。
我们这里考虑隔板法：
两个 (1) 当然可以合并 (2)（(=1+1)），(a) 和 (b) 当然可以合并 (a+b)，问题转换为有 (n) 个 (1) 有多少种合并方案。
设 (n) 个数的方案数为 (f(n))。
考虑将 (f(n)) 分解为 (f(x_0+y_0))。
使用隔板：
- 当隔板在最左侧时，(x_0=0)，(f(0)=1)；(y_0=n)，因为要求合并，所以有 (n-1) 种，由乘法原理知，此步答案为 (f(0)f(n-1))。
- 隔板向右移动一格，(x_0=1)，也就是 (f(1))；(y_0=n-1)，同理是 (n-2) 种，由乘法原理知，此步答案为 (f(1)f(n-2))。
- (dots)
- 归纳一下，第 (i) 步为 (f(i)f(n-i-1))。
- 最后一步显然是 (f(n-1)f(0))；左右对称。
于是得出递推式：
[f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+f(2)f(n-3)+dots+f(i)f(n-i-1)+dots+f(n-1)f(0)
]
朴素 dp 即可：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=25;
typedef long long ll;
ll n,dp[N];
int main()
{
cin>>n;
dp[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
cout<<dp[n];
return 0;
}
但是在深入一步，会发现 (f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+f(2)f(n-3)+dots+f(i)f(n-i-1)+dots+f(n-1)f(0)) 的这个 (f(n)) 正好就是卡特兰数 (C_n)，这个公式正好是一个卡特兰数的递推式。