【BZOJ1096】[ZJOI2007]仓库建设 斜率优化

【BZOJ1096】[ZJOI2007]仓库建设

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

题解：不确定是什么题，就先列出方程再说

f[i]=min(f[j]+∑p[k]*(x[i]-x[k])+c[i]) (1≤j<i,j<k<i)

整理

f[i]=f[j]+x[i]*∑p[k]-∑x[k]*p[k]+c[i] (1≤j<i,j<k<i)

发现可以分别用前缀和维护p[k],x[k]*p[k]，然后就是斜率优化啦

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#define y(_) (f[_]+sx[_])
using namespace std;
const int maxn=1000010;
int n;
typedef long long ll;
ll x[maxn],p[maxn],c[maxn],sp[maxn],sx[maxn],f[maxn];
int q[maxn],h,t;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	int i;
	ll sum=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);
		sp[i]=sp[i-1]+p[i];
		sx[i]=sx[i-1]+p[i]*x[i];
	}
	h=t=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		while(h<t&&y(q[h+1])-y(q[h])<=x[i]*(sp[q[h+1]]-sp[q[h]]))	h++;
		f[i]=f[q[h]]+x[i]*(sp[i-1]-sp[q[h]])-sx[i-1]+sx[q[h]]+c[i];
		while(h<t&&(y(q[t])-y(q[t-1]))*(sp[i]-sp[q[t]])>=(y(i)-y(q[t]))*(sp[q[t]]-sp[q[t-1]]))	t--;
		q[++t]=i;
	}
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}