【BZOJ2839】集合计数
Description
一个有N个元素的集合有2^N个不同子集（包含空集），现在要在这2^N个集合中取出若干集合（至少一个），使得它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）
Input
一行两个整数N,K
Output
一行为答案。
Sample Input
3 2
Sample Output
6
HINT
【样例说明】
假设原集合为{A,B,C}
则满足条件的方案为：{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}
【数据说明】
对于100%的数据，1≤N≤1000000；0≤K≤N；
题解：容斥，考虑选出若干集合使得交集至少为k的方案数，有$f(i)=C _n^i imes (2^{2^{n-i}}-1)$，可以理解为已经选定了i个，剩下$2^{n-i}$个集合，每个可以选或不选，但是不能一个也不选。但是这样做肯定会有重复的，我们思考容斥系数是什么。
当我们计算交集至少为k的时候，每个交集为j的方案都会被计算$C_j^k$次，所以
f(k)的系数是1
f(k+1)的系数是$-C_{k+1}^k$
f(k+2)的系数$-C_{k+2}^k+C_{k+1}^kC_{k+2}^{k+1}=C_{k+2}^k$（小tips:$C_N^MC_M^S=C_N^SC_{N-S}^{N-M}$）
以此类推，f(i)的系数就是$(-1)^{i-k}C_i^k$。
所以答案为$sumlimits_{i=k}^n(-1)^{i-k}C_i^kC_n^i(2^{2^{n-i}}-1)$
求组合数需要线性筛逆元，方法：$i^{-1}equiv -lfloor{pover i} floor imes(p\%i)^{-1}(mod p)$
求$(2^{2^i}-1)$可以采用从n到k枚举i的方法，初值tmp=1，然后tmp=tmp*(tmp+2)。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
ll n,k,ans;
ll ine[1000010],jcc[1000010],jc[1000010];
ll c(ll x,ll y)
{
return jc[x]*jcc[y]%mod*jcc[x-y]%mod;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);
ll i,j,flag,tmp;
ine[1]=jc[1]=jcc[1]=jc[0]=jcc[0]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
ine[i]=(mod-(mod/i)*ine[mod%i])%mod;
jcc[i]=jcc[i-1]*ine[i]%mod;
jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
}
for(i=n,flag=((n-k)&1)?-1:1,tmp=1;i>=k;i--)
{
ans=(ans+mod+flag*c(i,k)*c(n,i)%mod*tmp%mod)%mod;
flag=-flag,tmp=tmp*(tmp+2)%mod;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}