【CF891E】Lust 生成函数

【CF891E】Lust

题意：给你一个长度为n的序列$a_i$，对这个序列进行k次操作，每次随机选择一个1到n的数x，令$res+=prodlimits_{i!=x}a_i$（一开始res=0），然后$a_i$--。问最终res的期望值。答案在模意义下对$10^9+7$取模。

$nle 5000,kle 10^9$

题解：首先需要发现，假如第i个数被减的次数为$b_i$，则$res=prodlimits_i a_i-prodlimits_i (a_i-b_i)$。这个用归纳法容易证明。

于是问题就变成了求$[{sum b_i=k}]{1over n^k}{k!over prod b_i!}prodlimits_{i}(a_i-b_i)$

设生成函数$F_i(x)=sumlimits_{j}{(a_i-j)x^jover j!}$，它等于

$F_i(x)=sumlimits_j{a_ix^jover j!}-sumlimits_j{x^jover (j-1)!}\=sumlimits_{j}{a_ix^jover j!}-xsumlimits_{j}{x^jover j!}\=sumlimits_j{(a_i-x)x^jover j!}=(a_i-x)e^j$

所以$prodlimits_i F_i(x)=e^{nj}prodlimits_i (a_i-x)$。我们可以暴力求出$prodlimits_i (a_i-x)$的每一项系数，设其为$c_i$。剩下的就是求$e^{nj}$的第$k-n,k-n+1...k$项系数。显然第i项系数是$n^iover i!$，再乘上前面的${k!over n^k}$就变成了$sumlimits_{i=0}^n{c_i}n^{-i}prodlimits_{j=k-i}^kj$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5010;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
ll ine[maxn],v[maxn],f[maxn];
int n;
ll k,ans;
int main()
{
	int i,j;
	scanf("%d%lld",&n,&k);
	for(ans=i=1;i<=n;i++)	scanf("%lld",&v[i]),ans=ans*v[i]%P;
	f[0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=i;j>=1;j--)
		{
			f[j]=(f[j]*v[i]-f[j-1])%P;
		}
		f[0]=f[0]*v[i]%P;
	}
	ine[0]=ine[1]=1;
	for(i=2;i<=n;i++)	ine[i]=P-(P/i)*ine[P%i]%P;
	ll t=1,tmp=1;
	for(i=0;i<=n&&i<=k;i++)
	{
		ans=(ans-f[i]*t%P*tmp)%P;
		t=t*ine[n]%P,tmp=tmp*(k-i)%P;
	}
	printf("%lld",(ans+P)%P);
	return 0;
}