[CSP校内集训]race（位运算？）

题意

有(n)个人，每个人有一个能力值(a_i)（(a)互不相同），有(2^m)场比赛([0,2^m))，每场比赛一个人的得分为(a_i oplus j)，按照得分排序（得分每轮比赛清零），每个人获得排名(^2)的积分（注意排名从0开始算），求每个人的积分(q\% (10^9+7))后的异或和，((nleq 200000,mleq 30))

思路

考场上的解法，并非最优解法qwq

由于有取模操作，只能一个个人的处理，且可以看出是要一位位处理问题的

假设当前处理到第i个人，设(k_j)为能力值在二进制下更高位与i一样，第j位不同的人数，（由这个定义可知(sum{k_j}=n-1)，即除i外的每个人会且仅会被统计一次）

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暂时不管(k)怎么求，可以发现两个数之间的大小关系仅由从高向低第一个不同的位（即上面(k)的定义），对于一个(j)，如果第(j)位和第(i)个人一样，那么他就比不过那(k_j)个人，即排名(+k_j)，否则排名不会增加；而第(j)位是0或1的概率相等，所以第(i)个人取或不取(k_j)的概率相同，那么第(i)个人的积分为(0 + k_1^2 + k_2^2 +....+k_m^2 + (k_1+k_2)^2 + (k_1+k_2)^2 + .......(k_1+k_2+...+k_m)^2)（就像搜索m个数选或不选一样）

好像写复杂了？不管不管

这个式子可以化简，而我比较懒（cai），并没有化简完...

[q=sum_{i=1}^{m} { k_i (2^{m-1}k_i + frac{sum_{j=1}^{m-1}{C_{m-1}^j imes j}}{m-i} imes(n-1-k_i)) } ]

预处理一些东西之后这个式子可以(O(m))求

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扯了那么多，到底怎么求(k)啊

其实求(k)很简单，我的方法是对(a_i)排个序之后从高位到低位模拟即可，因为需要二分所以图方便用了个(lb)，具体见代码

时间复杂度(O(nlog^2n))，复杂度瓶颈为求(k)，理论上可以过，实际上我自测的时候忘记关编译选项里面的(O2)了，结果跑了个0.6s还以为随便过。。。

成功被卡常到2.9s（STL常数好大qwq），把(lb)换成手写二分即可0.5s过此题，和std速度差不多？？？

正解是(O(nlogn))的trie，懒得打，看起来又是套路2333

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200005
#define re register
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1000000007;
int n,m; ll a[N];
ll k[35],ans=0;
ll C[35][35],sum,po;

template <class T>
void read(T &x)
{
	char c; int sign=1;
	while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}
ll quickpow(ll a,ll b)
{
	ll ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1; 
	}
	return ret;
}

void init()//预处理一堆乱七八糟的东西 
{
	C[0][0]=C[1][0]=C[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=30;++i)
	{
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;++j) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
	}
	for(int i=1;i<m;++i) sum=(sum+C[m-1][i]*i%mod)%mod;
	sum=sum*quickpow(m-1,mod-2)%mod;
	po=quickpow(2,m-1);
}
int find(int x)
{
	re int l=1,r=n,ret=n+1;
	while(l<=r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(a[mid]>=x) ret=mid,r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	return ret;
}
void getk(int x)//求与x的每一位不同的数个数：要求sigma(ki)=n-1
{
	ll now=0;//前面相等的位都 >=now 
	for(re int i=m-1;i>=0;--i)//求ki 
	{
		if(x>>i&1)//这一位不同:[ now,now+(1<<i) )
		{
			int r=find(now+(1<<i))-1;//右边第一个 
			int l=find(now);//左边第一个 
			k[i]=(r-l+1);
			now+=(1<<i);
		}
		else//这一位不同:[ now+(1<<i),now+(1<<(i+1)) )
		{
			int r=find(now+(1<<(i+1)))-1;
			int l=find(now+(1<<i));
			k[i]=(r-l+1);
		}
	}
}
int main()
{	
	freopen("race.in","r",stdin);
	freopen("race.out","w",stdout);
	read(n);read(m);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
	sort(a+1,a+n+1);
	init();
	for(re int i=1;i<=n;++i)
	{
		getk(a[i]);
		ll pts=0;
		for(re int j=0;j<m;++j) pts=(pts+k[j]*((po*k[j]%mod + sum*(n-1-k[j])%mod)%mod)%mod)%mod;
		pts=(pts%mod+mod)%mod;
		ans^=pts;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}