Description
七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。于是TYVJ今年举办了一次线下七夕祭。Vani同学今年成功邀请到了cl同学陪他来共度七夕,于是他们决定去TYVJ七夕祭游玩。
TYVJ七夕祭和11区的夏祭的形式很像。矩形的祭典会场由(N)排(M)列共计(N×M)个摊点组成。虽然摊点种类繁多,不过cl只对其中的一部分摊点感兴趣,比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。Vani预先联系了七夕祭的负责人zhq,希望能够通过恰当地布置会场,使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多,并且各列中cl感兴趣的摊点数也一样多。
不过zhq告诉Vani,摊点已经随意布置完毕了,如果想满足cl的要求,唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。两个摊点相邻,当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。由于zhq率领的TYVJ开发小组成功地扭曲了空间,每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。现在Vani想知道他的两个要求最多能满足多少个。在此前提下,至少需要交换多少次摊点。
Input
第一行包含三个整数(N)和(M)和(T)。(T)表示cl对多少个摊点感兴趣。
接下来(T)行,每行两个整数(x, y),表示cl对处在第(x)行第(y)列的摊点感兴趣。
Output
首先输出一个字符串。如果能满足Vani的全部两个要求,输出both
;如果通过调整只能使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多,输出row
;如果只能使各列中cl感兴趣的摊点数一样多,输出column
;如果均不能满足,输出impossible
。
如果输出的字符串不是impossible
, 接下来输出最小交换次数,与字符串之间用一个空格隔开。
Solution
观察题目的交换操作,发现交换左右两个相邻的摊点只会改变某两列中cl感兴趣的摊点数,不会改变每行中cl感兴趣的摊点数。交换上下两个相邻的摊点只会改变某两行中cl感兴趣的摊点数,不会改变每列中cl感兴趣的摊点数。基于这点,我们可以将行和列分开计算!于是原问题被转化为两个子问题:
1、通过最少次数的左右交换使得每列中cl感兴趣的摊点数数量相同。
2、通过最少次数的上下交换使得每行中cl感兴趣的摊点数数量相同。
考虑问题1(因为问题2同理):首先我们应该判断是否能使问题1成立,易得(n|T)是成立问题1的充要条件,如果没有(n|T),那么就不能使各行中cl感兴趣的摊点数一样多。假设现在已有(n|T),那我们怎么求交换次数呢? 假装我们没有看到每一行的第一个位置和最后一个位置也算作相邻 那么我们可以惊奇的发现,这道题和均分纸牌长的有点像其实是一模一样:假设有(n)个人,总共(T)张牌,对于第(i)个人,其手上有(c_i)张牌,满足(sum_{i=1}^n c_i=T 且 n|T),一个人可以将手上的一张纸牌交给旁边的人称为1次交换,最终使得每个人手上的纸牌数量相等,求最少交换次数。令(G_i=sum_{j=1}^i {c_i-T div n}),则$$Ans=sum_{i=1}^n |G_i|$$
但这种方法只适用于一条直线的均分纸牌,而本题是环装均分纸牌!
But!我们可以总可以得到一种最优方案使得其本质还是一条直线!
考虑断了哪两个人之间的联系:
设把环断开后最后一个人为(k),我们发现前缀和数组(G)发生了如下变化,设新的前缀和数组为(A):
(下标) | (变化) |
---|---|
(k+1) | (A_{k+1}=G_{k+1}-G_k) |
(k+2) | (A_{k+2}=G_{k+2}-G_k) |
(......) | (......) |
(n) | (A_n=G_n-G_k) |
(1) | (A_1=G_1+G_n-G_k) |
(......) | (......) |
(k) | (A_k=G_k+G_n-G_k) |
众所周知,(G_n=0),所以$ ext Ans=sum_{i=1}^n | G_n-G_k |
Code
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,t,rsum[100010],csum[100010],sum[100010];
int cas;
long long ans;
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
for (int i=1;i<=t;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
rsum[x]++;csum[y]++;
}
if (t%n==0)
{
cas++;
for (int i=1;i<=n;i++) rsum[i]-=t/n;
for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+rsum[i];
sort(sum+1,sum+n+1);
int mid=sum[(1+n)/2];
for (int i=1;i<=n;i++)
ans=ans+abs(sum[i]-mid);
}
if (t%m==0)
{
cas+=2;
for (int i=1;i<=m;i++) csum[i]-=t/m;
for (int i=1;i<=m;i++) sum[i]=sum[i-1]+csum[i];
sort(sum+1,sum+m+1);
int mid=sum[(1+m)/2];
for (int i=1;i<=m;i++)
ans=ans+abs(sum[i]-mid);
}
if (!cas) printf("impossible");
if (cas==1) printf("row");
if (cas==2) printf("column");
if (cas==3) printf("both");
if (cas) printf(" %lld",ans);
printf("
");
return 0;
}