死磕浮点数——浮点数精度之谜

话要从业务代码里的bug说起，大致过程是前端运算 2.07-1 之后结果却是1.0699999999999998，老司机们都知道是浮点数运算的精度丢失导致的，在查看了下具体代码，果然处理不当。因此我深究一番，并诞生了此文。此处重点强调两个认识误区：

浮点数运算精度丢失问题并不是js独有的！
js浮点数的加减乘除运算都可能导致精度丢失问题！

首先不得不说说浮点数的表示方法，任何数在计算机面前都会被处理成二进制，而数字的二进制表示主要有原码、反码、补码。（有点熟悉对不对？哥就是来给你补计算机组成原理的，坏笑～）

原码

原码是计算机中对数字的二进制的定点表示方法，最高位表示符号位，其余位表示数值位。优点显而易见，简单直观；缺点也很明显，不能直接参与运算，可能会报错，如11+(-11) => 10010110 => -22，结果竟然不等于0。（卧槽，瞎搞啊～，以为我没上过学？）所以，原码符号位不能直接参与运算。说到这，给大家个思考题，8位有符号的原码表示范围是多少？自己思考哈～

反码

正数的反码和其原码一样；负数的反码，符号位为1，数值部分按原码取反。例如 [+7]原 = 00000111，[+7]反 = 00000111； [-7]原 = 10000111，[-7]反 = 11111000。

补码

正数的补码和其原码一样；负数的补码为其反码加1。例如 [+7]原 = 00000111，[+7]反 = 00000111，[+7]补 = 00000111； [-7]原 = 10000111，[-7]反 = 11111000，[-7]补 = 11111001。
说到这，你也许会问，哥你这都是讲的整数啊，没说到浮点数啊。别急，弟继续往下看～

浮点数的表示方法

国际标准IEEE 754规定，任意一个二进制浮点数V都可以表示成下列形式：

1. (-1)^s 表示符号位，当s=0，V为整数；s=1，V为负数；
2. M 表示有效数字，1≤M<2；
3. 2^E 表示指数位

举个小栗子?：
-0.5 => -0.1[二进制]
=> -1.0 * 2^-1
=> (-1)^1 * 1.0 * 2^-1
=> s=1，M=1.0，E=-1

IEEE 754又规定了，浮点数分单精度双精度之分：

• 32位的单精度浮点数，最高1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位是有效数字M
• 64位的双精度浮点数，最高1位是符号位s，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M

对于有效数字M和指数E，这个IEEE 754还规定了：

1. 有效数字M
   （1）1≤M<2，也即M可以写成1.xxxxx的形式，其中xxxxx表小数部分
   （2）计算机内部保存M时，默认这个数第一位总是1，所以舍去。只保存后面的xxxxx部分，节省一位有效数字
2. 指数E（阶码）
   （1）E为无符号整数。E为8位，范围是0～255；E为11位，范围是0～2047
   （2）因为科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定E的真实值必须再减去一个中间数（偏移值），127或1023

有人又要问了，哥，为啥子要有中间数？自己思考哈，弟你自己要学会成长，实在不行你也可以问你谷哥～

Attention！ 精华部分来了～

浮点数加法

浮点数的加法运算（不要问哥为啥只讲加法～）分为下面几个步骤：

• 对阶
• 位数求和
• 规格化
• 舍入
• 校验判断

（1）对阶
顾名思义就是对齐阶码，使两数的小数点位置对齐，小阶向大阶对齐；
（2）尾数求和
对阶完对尾数求和
（3）规格化
尾数必须规格化成1.M的形式
（4）舍入
在规格化时会损失精度，所以用舍入来提高精度，常用的有0舍1入法，置1法
（5）校验判断
最后一步是校验结果是否溢出。若阶码上溢则置为溢出，下溢则置为机器零

实例计算（以单精度为例）

0.2 => 1/8 + 1/16 + 1/128 +... => 1.100110011001100...*2^-3 =>

0(符号位) 01111100 (指数位) (1) 10011001100110011001100(尾数位)

0.4 => 1/4 + 1/8 +1/64 +... => 1.100110011001100...*2^-2 =>

0(符号位) 01111101 (指数位) (1) 10011001100110011001100(尾数位)

这里，细心的同学可能会发现指数位为何是01111100，不是应该是-3，这是因为-3加上了中间值127等于124；所以反算的时候，要用计算值减去中间值得到真正的指数值。

（1）对阶

根据小阶对大阶原则，0.2的阶码向0.4阶码对齐，即0.4的阶码不作调整，0.2的阶码对齐，且尾数做右移处理：

0.2 => 0 01111101 (0)11001100110011001100110

0.4 => 0 01111101 (1)10011001100110011001100

（2）尾数求和

(0)11001100110011001100110 + (1)10011001100110011001100 => (10)01100110011001100110010

（3）尾数规格化

0 01111101 (10)01100110011001100110010 => 0 01111110 (1)00110011001100110011001

⚠️ 最后的0被移出去了，这就是误差产生的根源！

（4）舍入
（5）校验判断
0.2 + 0.4 => 0 01111110 (1)00110011001100110011001 => 1.1999999285/2 => 0.5999999643 （并不等于0.6）

最后发现计算结果果然出现误差，因为在尾数规格化的步骤中可能产生移位误差，看来要想精确运算，不能直接操作浮点数运算啊！最保险的方法是在运算过程中，将浮点数处理成整数进行运算：

/**
 * [scaleNum 通过操作其字符串将一个浮点数放大或缩小]
 * @param  {number} num      要放缩的浮点数
 * @param  {number} pos      小数点移动位数
 * pos大于0为放大，小于0为缩小；不传则默认将其变成整数
 * @return {number}          放缩后的数
 */
function scaleNum(num, pos) {
    if (num === 0 || pos === 0) {
        return num;
    }

    let parts = num.toString().split('.');
    const intLen = parts[0].length;
    const decimalLen = parts[1] ? parts[1].length : 0;

    // 默认将其变成整数，放大倍数为原来小数位数
    if (pos === undefined) {
        return parseFloat(parts[0] + parts[1]);
    } else if (pos > 0) {
        // 放大
        let zeros = pos - decimalLen;
        while (zeros > 0) {
            zeros -= 1;
            parts.push(0);
        }
    } else {
        // 缩小
        let zeros = Math.abs(pos) - intLen;
        while (zeros > 0) {
            zeros -= 1;
            parts.unshift(0);
        }
    }

    const idx = intLen + pos;
    parts = parts.join('').split('');
    parts.splice(idx > 0 ? idx : 0, 0, '.');

    return parseFloat(parts.join(''));
}

有很多同学将浮点数扩大成整数，直接乘以10^N，其实这也会可能导致误差，例如 0.57*100 => 56.99999999999999；另外除法运算也可能导致误差，5.7/10 => 0.5700000000000001；记住，包含浮点数的加减乘除都可能导致计算误差。

Q&A：

1. 8位有符号的原码表示范围是多少？
   A：111111111 ~ 01111111 => -127 ~ +127
2. 阶码运算为啥要有中间数？
   A：指数可以为正数，也可以为负数。为了计算机处理数据的方便，就是希望在加法运算中将减法运算一并处理了，所以处理了负指数的情况，加上中间值来简化CPU中运算器的设计