实变函数复习重点
一、重要概念
1：$Cantor$三分集：
（1）它是完备集，无孤立点；
（2）它没有内点，是舒朗集合；
（3）它的测度为0；
（4）它的基数为$c$:
2：测度：
设$E$是${{R}^{n}}$中任一点集，对于每一列覆盖$E$的开区间$underset{i=1}{overset{infty }{mathop{igcup }}}\,{{I}_{i}}supset E$，作出它的体积总和
$mu =sumlimits_{i=1}^{infty }{left| {{I}_{i}} ight|}$（$mu $可以等于$+infty $，不同的区间列一般有不同的$mu $），所有这一切的$mu $组成一个下方有界的数集，它的下确界（完全由$E$确定）称为$E$的$Lebesgue$外测度，简称$L$测度或外测度，记为${{m}^{*}}E$，即${{m}^{*}}E=underset{Esubset underset{i=1}{overset{infty }{mathop{igcup }}}\,{{I}_{i}}}{mathop{inf }}\,sumlimits_{i=1}^{infty }{left| {{I}_{i}} ight|}$
3：可测
设$E$是${{R}^{n}}$中点集，如果对任一点集$T$都有${{m}^{*}}T={{m}^{*}}(Tigcap E)+{{m}^{*}}(Tigcap {{E}^{c}})$，则称$E$是$L$可测的。
4：可测函数
设$f(x)$是定义在可测集$Esubset {{R}^{n}}$的实函数，如果对于任何有限实数$a$，$E[f>a]$都是可测集，则称$f(x)$是定义在$E$上的可测函数。
5：依测度收敛
设${{{f}_{n}}}$是$Esubset {{R}^{n}}$上的一列$a.e.$有限的可测函数，若有$E$上$a.e.$有限的可测函数$f(x)$满足下列关系：对任意的$delta >0$，有$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,mE[left| {{f}_{n}}-f ight|ge delta ]=0$，则称函数列${{{f}_{n}}}$依测度收敛于
$f$，记为${{f}_{n}}(x)Rightarrow f(x)$
6：非负简单函数$Lebesgue$积分：
设$Esubset {{R}^{n}}$为可测集，$varphi (x)$为$E$上的一个非负简单函数，即$E$表示为有限个互不相交的可测集${{E}_{1}},{{E}_{2}},cdots ,{{E}_{k}}$之并，而在每个${{E}_{i}}$上$varphi (x)$取非负常数值${{c}_{i}}$，也就是说
$varphi (x)=sumlimits_{i=1}^{k}{{{c}_{i}}}{{chi }_{{{E}_{i}}}}(x)$，这里${{chi }_{{{E}_{i}}}}(x)$是${{E}_{i}}$上的特征函数，记$int_{E}{varphi (x)dx=sumlimits_{i=1}^{k}{{{c}_{i}}}}m{{E}_{i}}$
二、重要定理
1：$Eropob$定理（一致收敛）
设$m(E)<infty $，${{{f}_{n}}}$是$E$上一列$a.e.$收敛于一个$a.e.$有限的函数$f$的可测函数，则对任意的
$delta >0$，存在${{E}_{delta }}subset E$，使${{{f}_{n}}}$在${{E}_{delta }}$上一致收敛，且$m(Eackslash {{E}_{delta }})=0$
注意：$mE=infty $时不成立，而逆定理当$m(E)<infty $和$mE=infty $时都成立
2：$JIyIm HH$定理（连续）
设$f(x)$是$E$上$a.e.$有限的可测函数，则对任意的$delta >0$，存在闭子集${{F}_{delta }}subset E$，使得$f(x)$在
${{F}_{delta }}$上是连续函数，且$m(Eackslash {{F}_{delta }})=0$
注意：其逆定理也成立
3：$F.Riesz$定理（致密性原理）
设在$E$上${{{f}_{n}}}$依测度收敛于$f$，则存在子列${{{f}_{{{n}_{i}}}}}$在$E$上$a.e.$收敛于$f$
4：$Lebesgue$定理
设
（1）$mE<infty $；
（2）${{{f}_{n}}}$在$E$上$a.e.$有限的可测函数列；
（3）${{{f}_{n}}}$在$E$上$a.e.$收敛于$a.e.$有限的函数$f$
则${{f}_{n}}(x)Rightarrow f(x)$
注意：$mE<infty $不能去掉，反例：
$E = (0, + infty ),$$
{f_n}(x) = left{egin{array}{ll}
1, & hbox{$x in (0,n]$;} \
0, & hbox{$x in (n, + infty )$.}
end{array}
ight.$，$n = 1,2, cdots $
5：$Levi$定理（积分与极限换序）
设$Esubset {{R}^{q}}$为可测集，${{{f}_{n}}}_{n=1}^{infty }$为$E$的一列非负可测函数，当$xin E$时对于任一自然数$n$，有
[{{f}_{n}}(x)le {{f}_{n+1}}(x)]，令[f(x)=underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,{{f}_{n}}(x),xin E]，则[underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,int_{E}{{{f}_{n}}(x)}dx=int_{E}{f(x)dx}]
6：$Fatou$引理
设$Esubset {{R}^{q}}$为可测集，${{{f}_{n}}}_{n=1}^{infty }$为$E$的一列非负可测函数，则[int_{E}{underset{overline{n o infty }}{mathop{lim }}\,}{{f}_{n}}(x)dxle underset{overline{n o infty }}{mathop{lim }}\,int_{E}{{{f}_{n}}(x)dx}]
注意：不能把“$le $”改为“$=$”，如$
{f_n}(x) = left{egin{array}{ll}
n, & hbox{$0 < x < frac{1}{n}$;} \
0, & hbox{$x ge frac{1}{n}$.}
end{array}
ight.$
7：$Lebesgue$控制收敛定理（与$Levi$定理类似）
设$Esubset {{R}^{q}}$为可测集，${{{f}_{n}}}_{n=1}^{infty }$为$E$的一列非负可测函数，$F$是$E$上的非负$L$可积函数，如果对于任意的自然数$n$，$left| {{f}_{n}}(x) ight|le F(x)$$a.e.$于$E$，且$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,{{f}_{n}}(x)=f(x)$$a.e.$于$E$，则
（1）$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,int_{E}{left| {{f}_{n}}(x)-f(x) ight|}dx=0$
（2）$underset{n o +infty }{mathop{lim }}\,int_{E}{{{f}_{n}}(x)dx}=int_{E}{f(x)dx}$
8：$Riemann$可积和$Lebesgue$可积之间的关系
设$f(x)$是$[a,b]$上的一个有界函数，若$f(x)$在$[a,b]$上$Riemann$可积，则$f(x)$在$[a,b]$上
$Lebesgue$可积，且$(L)int_{[a,b]}{f(x)dx}=(R)int_{a}^{b}{f(x)dx}$
注意：反之不成立，如$
f(x) = left{egin{array}{ll}
frac{{sinx}}{x}, & hbox{$x > 0$;} \
1, & hbox{$x=0$.}
end{array}
ight.$和$
f(x) = left{egin{array}{ll}
1, & hbox{$x in Q$;} \
0, & hbox{$x in {Q^c}$.}
end{array}
ight.$
9：$Fubini$定理（化二重积分为重积分）
（1）设$f(P)=f(x,y)$在$A imes Bsubset {{R}^{p+q}}$（$A,B$分别是${{R}^{p}}$和${{R}^{q}}$中之可测集）上非负可测，则对$a.e.$的$xin A$，$f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可测，且
$int_{A imes B}{f(P)dP=int_{A}{dxint_{B}{f(x,y)dy}}}$
（2）设$f(P)=f(x,y)$在$A imes Bsubset {{R}^{p+q}}$上可积，则对$a.e.$的$xin A$，$f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可积，又$int_{B}{f(x,y)dy}$作为$x$的函数在$A$上可积，且
$int_{A imes B}{f(P)dP=int_{A}{dxint_{B}{f(x,y)dy}}}$