平方根的C语言实现(三) ——最终程序实现

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　　作者：窗户

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　　了解了浮点数的存储以及手算平方根的原理，我们可以考虑程序实现了。

　　先实现一个64位整数的平方根，根据之前的手算平方根，程序也不是那么难写了。

#include <stdint.h>
uint64_t _sqrt_u64(uint64_t a)
{
        int i;
        uint64_t res;
        uint64_t remain;

        //0的平方根是0,特殊处理一下
        if(a == 0ull)
                return 0ull;

        //找到最高位的1，并且产生平方根结果最高位的1
        for(i=62;;i-=2)
                if(a&(3ull<<i)) {
                        res = 1ull;
                        remain = ((a&(3ull<<i))>>i) - 1ull;
                        i -= 2;
                        break;
                }

        //根据手算平方根的原理，依次产生各位结果
        for(;i>=0;i-=2) {
                //右移动两位，并把a接着的两位并入remain
                remain = (remain<<2)|((a&(3ull<<i))>>i);
                if(((res<<2)|1ull) <= remain) {
                        //产生新一位的1
                        remain = remain - ((res<<2)|1ull);
                        res = (res<<1)|1ull;
                } else {
                        //产生新一位的0
                        res <<= 1;
                }
        }

        return res;
}

　　其实，可以合在一起写，代码会短一些，但效率会低那么一点点，而且编译器应该不太容易优化。

#include <stdint.h>
uint64_t _sqrt_u64(uint64_t a)
{
        int i;
        uint64_t res;
        uint64_t remain;

        res = remain = 0ull;

        for(i=62;i>=0;i-=2) {
                remain = (remain<<2)|((a&(3ull<<i))>>i);
                if(((res<<2)|1ull) <= remain) {
                        remain = remain - ((res<<2)|1ull);
                        res = (res<<1)|1ull;
                } else {
                        res <<= 1;
                }
        }

        return res;
}

　　不过，我们不需要这个结果。

　　为了验证其正确性，我们来写个C语言的main

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <inttypes.h>
uint64_t _sqrt_u64(uint64_t a);

int main()
{
        uint64_t a, b;
        scanf("%" PRIu64, &a);
        b = _sqrt_u64(a);
        printf("%" PRIu64 "
",b);
        return 0;
}

　　我们shell程序测试一下，我们当然不可能测试过每一个64bits的数，这个运算量太大，不现实。我们可以用随机取一部分来测试。

#!/bin/bash

#编译
gcc -O2 -s sqrt_u64.c main_sqrt_u64.c -o a.out

#随机测试10000个数
for((i=0;i<10000;i++));do
        #随机产生bits 0~64，如果是0，代表测试的数就是0
        #如果不是0，则代表要产生的数二进制可以有多少位
        let bits=RANDOM%65
        if [ $bits -eq 0 ]; then
                x=0
                y=0
        else
                #产生一个bits位的二进制数x
                x=$({
                        #最高位1
                        echo -n 1
                        #之后每位随机产生
                        for((j=1;j<bits;j++));do
                                let x=RANDOM%2
                                echo -n $x
                        done
                })
                #用bc将x转换成十进制
                x=$(echo 'obase=10;ibase=2;'"$x" | bc)
               #用bc计算x的平方根取整，理论上和我们的C语言计算一致 
               y=$(echo 'sqrt('"$x"')' | bc)
        fi
        #z是我们的C语言计算结果
        z=$(echo $x | ./a.out)
        #比较，如果不一致，就报错
        if [ $y -ne $z ];then
                echo $x $y $z error
                exit 1
        fi
done
echo OK

　　测试结果表明，我们的C语言还是可以得到正确的结果的。

　　再来回忆下第一节里讲过的浮点数结构，

　　S(1bits)  |   N(8bits)  |  A(23bits)

 　  对于浮点数a*2ⁿ, 

       1<=a<2，n为整数，

　　如果n是偶数，

　　那么a*2ⁿ的平方根是sqrt(a)*2^n/2，也满足1<=sqrt(a)<2，n/2是整数；

　　如果n为奇数，

　　那么a*2ⁿ的平方根是sqrt(2*a)*2^(n-1)/2，也满足1<=sqrt(2*a)<2，(n-1)/2是整数。

　　所以此处要用a或者2*a来开平方根，

　　回忆一下浮点数的结构，单精度浮点数的精度是23位。

　　表示的是科学计数法a*2ⁿ的a减去1的部分，那么加上整数1可以用二进制24位表示。

　　于是，我们就想，一个二进制48位或47位长的数，平方根是二进制24位。那么，我们就可以用一个48位或47位的二进制整数的平方根计算结果的小数部分。

　　nan/inf/-inf以及负数的平方根都是nan，

　　0.0的平方根是0.0,

　　-0.0的平方根是-0.0（可能只是某些库里是这样的），

　　以上都可以在计算的时候特殊化一下。

　　规格数（就是用科学计数法表示的浮点数）的平方根也是规格数，

　　S=0，N=0，A>0代表的是A*2^-149，也就是(A*2)*2^-150，

　　我们稍微计算一下，可以明白，所有的此类数的平方根都在规格数表示的范围内。

　　于是，有了以下的代码。

　　

#include <stdint.h>
static uint32_t _sqrt_(uint64_t a)
{
        int i;
        uint64_t res;
        uint64_t remain;

        res = remain = 0ull;

        //之前整数平方根被直接优化，我们只需要求47位或者48位整数的平方根
        for(i=46;i>=0;i-=2) {
                remain = (remain<<2)|((a&(3ull<<i))>>i);
                if(((res<<2)|1ull) <= remain) {
                        remain = remain - ((res<<2)|1ull);
                        res = (res<<1)|1ull;
                } else {
                        res <<= 1;
                }
        }

        return (uint32_t)res;
}

float mysqrtf(float f)
{
        union {
                float f;
                uint32_t u;
        } n;
        uint32_t N,A;
        int _N, i;
        uint64_t _A;

        n.f = f;
        if(n.u == 0x80000000 || n.u == 0x00000000) /* 0.0/-0.0 */
                return n.f;
        N = (n.u&(0xff<<23))>>23;
        if(N==0xff||(n.u&0x80000000)) { /* inf/-inf/nan/  f < 0.0*/
                n.u = 0x7fc00000; /* nan */
                return n.f;
        }
        if(N!=0x0) { /* 用科学计数法表示的规格数 */
                A = (n.u&0x7fffff)|0x800000;
                _N = (int)N - 127;
                if(N&0x1) {
                        _A = (uint64_t)A<<23;
                } else {
                        _A = (uint64_t)A<<24;
                        _N--;
                }
        } else { //A*2^(-149)这种表示方式的浮点数
                //还是需要找最高位
                for(i=22;;i--)
                        if(n.u&((0x1)<<i))
                                break;
                //然后需要移位，要区分奇数和偶数
                if(i&0x1) {
                        _N = i-149;
                        _A = (uint64_t)n.u << (46-i);
                } else {
                        _N = i-150;
                        _A = (uint64_t)n.u << (47-i);
                }
        }
        //小数部分
        A = _sqrt_(_A);
        //指数部分
        N = (uint32_t)(_N/2+127);
        //得到结果
        n.u = (A&0x7fffff)|(N<<23);
        return n.f;
}

　　同样，也写个测试用的程序，对inf/-inf/nan/0.0/-0.0以及负数不测了，这些很简单。

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <inttypes.h>

int main(int argc, char **argv)
{
        union {
                float f;
                uint32_t u;
        } n;
        uint32_t A,N;
        float f,f2;
        int i;

        srand((unsigned)time(NULL));
        //随机10000个数据
        for(i=0;i<10000;i++) {
                N = rand()%256;
                if(N==255)
                        N=254;
                A = 0x0;
                A |= rand()%256;
                A |= (rand()%256)>>8;
                A |= (rand()%256)>>16;
                n.u = (A&0x7fffff)|(N<<23);
                f = sqrtf(n.f);
                f2 = mysqrtf(n.f);
                printf("%.60f %.60f
",f,f2);
        }

        return 0;
}

　　结果发现，我们的程序和数学库里的sqrtf结果有细微差别。

　　于是，我们决定再加个小东西，就是四舍五入。之前我们用的是47位或者48位数开平方，为了四舍五入，我们需要多一位，于是就用49位或者50位数开平方。

　　修改一下mysqrtf，增加两位拿去开平方，_sqrt_也动一下。

#include <stdint.h>
static uint32_t _sqrt_(uint64_t a)
{
        int i;
        uint64_t res;
        uint64_t remain;

        res = remain = 0ull;

        //之前整数平方根被直接优化，我们只需要求49位或者50位整数的平方根
        for(i=48;i>=0;i-=2) {//这里之前是46,改成48
                remain = (remain<<2)|((a&(3ull<<i))>>i);
                if(((res<<2)|1ull) <= remain) {
                        remain = remain - ((res<<2)|1ull);
                        res = (res<<1)|1ull;
                } else {
                        res <<= 1;
                }
        }

        return (uint32_t)res;
}

float mysqrtf(float f)
{
        union {
                float f;
                uint32_t u;
        } n;
        uint32_t N,A;
        int _N, i;
        uint64_t _A;

        n.f = f;
        if(n.u == 0x80000000 || n.u == 0x00000000) /* 0.0/-0.0 */
                return n.f;
        N = (n.u&(0xff<<23))>>23;
        if(N==0xff||(n.u&0x80000000)) { /* inf/-inf/nan/  f < 0.0*/
                n.u = 0x7fc00000; /* nan */
                return n.f;
        }
        if(N!=0x0) { /* 用科学计数法表示的规格数 */
                A = (n.u&0x7fffff)|0x800000;
                _N = (int)N - 127;
                if(N&0x1) {
                        _A = (uint64_t)A<<25;
                } else {
                        _A = (uint64_t)A<<26;
                        _N--;
                }
        } else { //A*2^(-149)这种表示方式的浮点数
                //还是需要找最高位
                for(i=22;;i--)
                        if(n.u&((0x1)<<i))
                                break;
                //然后需要移位，要区分奇数和偶数
                if(i&0x1) {
                        _N = i-149;
                        _A = (uint64_t)n.u << (48-i);
                } else {
                        _N = i-150;
                        _A = (uint64_t)n.u << (49-i);
                }
        }
        //小数部分
        A = _sqrt_(_A);
        //四舍五入
        A = (A+(A&0x1))>>1;
        //指数部分
        N = (uint32_t)(_N/2+127);
        //得到结果
        n.u = (A&0x7fffff)|(N<<23);
        return n.f;
}

　　然后再测，准确无误。于是我们可以完工了。