[容斥] Luogu P5339 唱、跳、rap和篮球

题目描述

大中锋的学院要组织学生参观博物馆，要求学生们在博物馆中排成一队进行参观。他的同学可以分为四类：一部分最喜欢唱、一部分最喜欢跳、一部分最喜欢rap，还有一部分最喜欢篮球。如果队列中kk,k + 1k+1,k + 2k+2,k + 3k+3位置上的同学依次，最喜欢唱、最喜欢跳、最喜欢rap、最喜欢篮球，那么他们就会聚在一起讨论蔡徐坤。大中锋不希望这种事情发生，因为这会使得队伍显得很乱。大中锋想知道有多少种排队的方法，不会有学生聚在一起讨论蔡徐坤。两个学生队伍被认为是不同的，当且仅当两个队伍中至少有一个位置上的学生的喜好不同。由于合法的队伍可能会有很多种，种类数对998244353998244353取模。

题解

• 律师函警告（手动狗头）
• 设f(i)表示有i组人在鸡你太美的方案数，然后这样就可以进行容斥了
• 
• 那么如何计算f(i)呢？如果视讨论cxk的组为一个元素，则一共有n−3∗i个元素
• 我们把问题转换成一个多重排列的方案数，求法： 现在有m个不同的元素，每个i元素有ai个，那么方案数为
• 

代码

#include <cstdio>
#include <iostream> 
#define ll long long 
#define N 2010
#define mo 998244353
using namespace std;
int n,a,b,c,d,lim;
ll fac[N],inv[N],f[N],res,ans; 
int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c,&d);
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
    for (int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;
    for (int i=2;i<=n;i++) inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mo;
    lim=min(n>>2,min(min(a,b),min(c,d)));
    for (int x=0,v;x<=lim;++x)
    {
        v=(x&1)?-1:1;
        for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=0;
        for (int i=0;i<=a-x;i++) for (int j=0;j<=min(n-4*x-i,b-x);j++) f[i+j]=(f[i+j]+inv[i]*inv[j])%mo;
        res=0;
        for (int i=0;i<=c-x;i++) for (int j=0;j<=min(n-4*x-i,d-x);j++) res=(res+inv[i]*inv[j]%mo*f[n-4*x-i-j])%mo;
        res=res*fac[n-3*x]%mo*inv[x]%mo,ans=(ans+v*res)%mo;
    }
    printf("%lld",(ans+mo)%mo);
}