Luogu 1445 樱花

BZOJ 2721

唔，太菜了弄不来。

先通分：得到　　$frac{x + y}{xy} = frac{1}{n!}$

两边乘一下　　　$(x + y)n! - xy = 0$

两边加上$(n!)^2$，然后因式分解：　　$(x - (n!))(y - (n!)) = (n!)^2$。

本题中要求$x,y$是正整数，如果我们求出了$x - n!$和$y - n!$是正整数，那么$x$和$y$也会是正整数，然后这两个式子只要确定了一个就可以求出另外一个，所以本题的答案就是$(n!)^2$的因数个数，把$n!$先分解质因数然后所有质因数数量乘以$2$$ + 1$乘起来就好了。

暴力分解质因数是$n sqrt{n}$的，不能承受，我们在线性筛的时候可以直接筛出到所有数的最小质因子，然后直接除掉即可。

时间似乎是每一个数的质因数个数$???$。

Code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 1e6 + 5;
const ll P = 1e9 + 7;

int n, pCnt = 0, pri[N], lp[N];
ll cnt[N];
bool np[N];

inline void sieve() {
    lp[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(!np[i]) pri[++pCnt] = i, lp[i] = i;
        for(int j = 1; j <= pCnt && i * pri[j] <= n; j++) {
            np[i * pri[j]] = 1;
            if(i % pri[j] == 0) {
                lp[i * pri[j]] = pri[j];
                break;
            }
            lp[i * pri[j]] = pri[j];
        }
    }

/*    for(int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%d ", lp[i]);
    printf("
");    */
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    sieve();
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int tmp = i;
        for(; tmp != 1; tmp /= lp[tmp]) ++cnt[lp[tmp]];
    }

    for(int i = 1; i <= pCnt; i++) cnt[pri[i]] *= 2;

    ll ans = 1LL;
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans = ans * (1LL + cnt[i]) % P;

    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}