Codeforces Round #636 (Div. 3) A~D

Codeforces Round #636 (Div. 3) A~D

http://codeforces.com/contest/1343/

A. Candies

题意

给定一个 (n) ，询问任意一个 (x) 满足 (x+2x+4x+⋯+2^{k−1}x=n,kgt1)，题目保证存在至少一个 (x) 满足条件。

解题

等比数列求和 (1+2+2^2+...+2^{k-1} = 2^k-1)，遍历寻找 (2^k-1) 为 (n) 的因子的情况。

for i in range(int(input())):	
    pow2 = 4;n=int(input())
    while pow2-1<=n:
        if(n%(pow2-1)==0):
            print(n//(pow2-1))
            break
        pow2 *= 2

B. Balanced Array

题意

给定一个偶数 (n) ，求任意一个长度为 (n) 且满足下述条件的序列：

• 前 (n/2) 个元素是偶数
• 后 (n/2) 和元素是奇数
• 所有的元素都是唯一的
• 前半段和与后半段和相等

如果序列不存在输出 “NO” ，存在输出 “YES” 并在第二行输出这个序列。

解题

分情况讨论，当 (n/2) 是奇数时，奇数个偶数相加为偶数，奇数个奇数相加为奇数，前后半段和不可能相等，所以此时不存在目标序列。

当 (n/2) 是偶数时，前半段以 (2,4,6,...,2i-2,2i) 的形式填充，其和为 (sum_1 = i(i+1) = frac{n^2}{4}+frac{n}{2}) 。后半段以 (1,3,5,..,2i-5,2i-3,x) 的形式填充，其和为 (sum_2 = (frac{n}{2}-1)^2+x) ，前后两段和相等，可以求出 (x = frac{3}{2}n-1) 。这时序列满足条件。

for t in range(int(input())):
    n = int(input())
    if((n/2)%2!=0):
        print("NO")
        continue
    else:
        print("YES")
        for i in range(1,n//2+1):
            print(2*i,end=' ')
        for i in range(1,n//2):
            print(2*i-1,end=' ')
        print(3*n//2-1)

C. Alternating Subsequence

题意

给定一个序列（序列不含0），询问其最长正负交替子序列的最大和。

解题

贪心，从每个连续同符号子段中取出值最大的，组成的序列即为所求。

for t in range(int(input())):
    n = int(input())
    l = 0;s = 0
    maxV = 0
    for a in list(map(int,input().split())):
        if(l==0 or maxV*a<0):
            s+=maxV
            l+=1
            maxV = a
        elif(maxV*a>0):
            maxV = max(maxV,a)
    print(s)

D. Constant Palindrome Sum

题意

假设有一种正整数特殊序列，满足下列条件：

• 所有的元素小于等于 (k) ，即 (a_ile k)；
• 任意的 (a_i+a_{n-i+1} = x) ，(x) 是某常数。

给定一个正整数序列和 (k) ，询问将该序列变成上述特殊序列，最少需要替换多少个元素。

解题

起初以为确定 (x) 的值是关键，只需要找到使得替换次数最少的 (x) 的即可。但是这题数据 (On^2) 指定过不了，二分也没有明确的单调关系（头大

可以先假设一下，如果我们已经确定了 (x) 的值。对于每一对元素，需要替换的个数 (d_i) 值为

[p_{i} = min(a_i,a_{i+1}), q_{i} = max(a_i,a_{i+1}),\ d_i = left{ egin{array}{**lr**} 0 & p_i+q_{n-i+1} = x\ 1 & p_i+1le xle q_i+k, x e p_i+q_{n-i+1}\ 2 & p_i+1gt x lor q_i+klt x end{array} ight. ]

，设 (D_x) 为总替换次数，即 (D_x = sum_{i=1}^nd_i) 。从 ([2,2k]) 区间内的任何一个数都可以成为 (x) ，而且都有其对应的 (D_x) 。

可以发现，每一对 (a_i,a_{n-i+1}) 的值都影响着一片区域内 (D_x) 的值，我们可以用线段树快速求出区间内的所有 (D_x) 。（见到区间就想线段树，已经没救了）

• 初始化 (D_x = 0,x in [2,2k])
• 遍历所有的元素对：
  • (p_{i} = min(a_i,a_{i+1}), q_{i} = max(a_i,a_{i+1}))
  • 区间 (xin [p_i+1,q_i+k]cap complement_u{p_i+q_i}) 内的 (D_x = D_x+1)
  • 区间 (xin [2,p_i+1)cup(q_i+k,2k]) 内的 (D_x = D_x+2)
• 最后 (ans = min(D_x))

复杂度 (O(nlogk)) 理论上是可以过题的，但是 Div.3 写线段树，简直是冤大头。

再仔细思考下，我们对 (D) 序列只有一次查询，即最后的 (ans = min(D_x),xin [2,2k]) ，可以使用差分替代线段树。设 (m_x = D_{x} - D_{x-1},xgt 1) ，且 (m_1 = n) ，则 (D_x = sum_{i=1}^x m_i) 。每一对 (a_i,a_{n-i+1}) 仅仅影响着几个 (m_x) 值。

• 初始化 (m_x = 0,xin [1,2k])
• 遍历所有的元素对：
  • (p_{i} = min(a_i,a_{i+1}), q_{i} = max(a_i,a_{i+1}))
  • (m_{p_i+1} = m_{p_i+1}-1;)
  • (m_{p_i+q_i} = m_{p_i+q_i}-1;)
  • (m_{p_i+q_i+1} = m_{p_i+q_i+1}+1;)
  • (m_{q_i+k+1} = m_{q_i+k+1}+1;)
• 最后 (ans = min(D_x) = min( sum_{i=1}^x m_i))

复杂度 (O(n))，比线段树代码短几十行。

def scanf():
    return list(map(int,input().split()))

for t in range(int(input())):
    n,k = scanf()
    a = [0]+scanf()
    m = [0 for i in range(2*k+2)]
    m[1] = n
    
    for i in range(1,n//2+1):
        p = min(a[i],a[n-i+1])
        q = max(a[i],a[n-i+1])
        m[p+1]-=1
        m[p+q]-=1
        m[p+q+1]+=1
        m[q+k+1]+=1
    ans = 9e18; D=m[1]
    for mit in m[2:]:
        D += mit
        ans = min(ans,D)
    print(ans)