UVA11077 Find the Permutations —— 置换、第一类斯特林数

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-11077

题意：

问n的全排列中多有少个至少需要交换k次才能变成{1,2,3……n}。

题解：

1.根据过程的互逆性，可直接求{1,2,3……n}至少需要交换多少次才能变成{a1，a2，a3……an}，因此可直接把{a1，a2，a3……an}看成是{1,2,3……n}的置换。为什么呢？

答：1 2 3

　　2 3 1  可知把“2 3 1”看作是经过置换后的序列，则：2-->1(2放到1）、3-->2(3放到2)、1-->3(1放到3)。

　　　　　　   把“2 3 1”看作是置换，                        则：1-->2(1放到2）、2-->3(2放到3)、3-->1(3放到1)。

所以把序列看成是置换的话，那么它与变成自己的置换的形状完全相同，只是所有箭头的方向都发生了改变。

2.将一个置换分解成若干个循环，对于一个长度为len的循环，需要交换len-1次才能使得里面的每一个元素回到自己的位置（每一次交换都能使得一个元素回到原来的位置，一直交换到最后一个，就直接在自己的位置上。所以位len-1）。

3.根据第二点，即有多少个循环，就能减少多少次交换。而交换了k次，即减少了n-k交换，因此也就有n-k个循环。把n个有区别的元素排列成n-k个循环（圈），即为第一类斯特林数。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+7;
const int MAXN = 30;

unsigned long long dp[MAXN][MAXN];
void init()
{
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i<=21; i++)  //第一类斯特林数
    {
        dp[i][0] = 0; dp[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j<i; j++)
            dp[i][j] = 1LL*dp[i-1][j-1] + 1LL*(i-1)*dp[i-1][j];
    }
}

int main()
{
    init();
    int n, k;
    while(scanf("%d%d", &n, &k)&&(n||k))
        printf("%llu
", dp[n][n-k]);
}