51Nod 1225 余数之和 —— 分区枚举

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1225 余数之和 

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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F(n) = (n % 1) + (n % 2) + (n % 3) + ...... (n % n)。其中%表示Mod，也就是余数。 

例如F(6) = 6 % 1 + 6 % 2 + 6 % 3 + 6 % 4 + 6 % 5 + 6 % 6 = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3。

给出n，计算F(n), 由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果即可。

 

Input

输入1个数N(2 <= N <= 10^12)。

Output

输出F(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

6

Output示例

3

题解：

这题（LightOJ1245）的加强版，本来是求sigma(n/i)  1<=i<=n，而此题求的是：sigma(n%i)  1<=i<=n。

分两个区间枚举：

第一个区间 [1,sqrt(n)]：设i为除数，从1到sqrt(n)枚举i， 直接 ans += n%i；

第二个区间 [sqrt(n), n]：设i为商，从1到sqrt(n)枚举i，由于用后面区间的数去除n所得到的商，在很大一片区域是相同的，在这片区域，他们的余数成等差数列，且公差即为商，所以就可根据等差数列的求和公式，求出这段区域的余数和了。

需要特判在sqrt(n)处是否重复计算了。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int MOD = 1e9+7;
const int MAXM = 1e5+10;
const int MAXN = 1e6+10;

//inv(2,MOD-2) = 500000004
int main()
{
    LL n;
    while(scanf("%lld", &n)!=EOF)
    {
        LL m = (LL)sqrt(n);
        LL ans = 0;
        for(LL i = 1; i<=m; i++)
            ans = (ans+n%i)%MOD;
        for(LL i = 1; i<=m; i++)
        {
            LL cnt = ((n/i)%MOD-(n/(i+1))%MOD+MOD)%MOD;     //求个数也要求模
            LL a1 = n%i;
            LL s = (a1*cnt%MOD + ((cnt*(cnt-1)%MOD)*500000004LL%MOD)*i%MOD)%MOD;
            ans = (ans+s)%MOD;
        }

        if(n/m==m) ans = (ans-(n%m)+MOD)%MOD;
        printf("%lld
",ans);
    }
}