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  • 队列大成题——蚯蚓（洛谷）

    先看题目：

    本题中，我们将用符号 lfloor c floor⌊c⌋ 表示对 cc 向下取整，例如：lfloor 3.0 floor = lfloor 3.1 floor = lfloor 3.9 floor = 3⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。

    蛐蛐国最近蚯蚓成灾了！隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法，蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。

    蛐蛐国里现在共有 nn 只蚯蚓（nn 为正整数）。每只蚯蚓拥有长度，我们设第 ii 只蚯蚓的长度为 a_iai​ (i=1,2,dots,ni=1,2,…,n)，并保证所有的长度都是非负整数（即：可能存在长度为 00 的蚯蚓）。

    每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 pp（是满足 0 < p < 10<p<1 的有理数）决定，设这只蚯蚓长度为 xx，神刀手会将其切成两只长度分别为 lfloor px floor⌊px⌋ 和 x - lfloor px floorx−⌊px⌋ 的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于 00，则这个长度为 00 的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加 qq（是一个非负整常数）。

    蛐蛐国王知道这样不是长久之计，因为蚯蚓不仅会越来越多，还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物，但是救兵还需要 mm 秒才能到来……（mm 为非负整数）

    蛐蛐国王希望知道这 mm 秒内的战况。具体来说，他希望知道：

    • mm 秒内，每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度（有 mm 个数）；
    • mm 秒后，所有蚯蚓的长度（有 n + mn+m 个数）。

    蛐蛐国王当然知道怎么做啦！但是他想考考你……

    输入格式

    第一行包含六个整数 n,m,q,u,v,tn,m,q,u,v,t，其中：n,m,qn,m,q 的意义见【问题描述】；u,v,tu,v,t 均为正整数；你需要自己计算 p=u / vp=u/v（保证 0 < u < v0<u<v）；tt 是输出参数，其含义将会在【输出格式】中解释。

    第二行包含 nn 个非负整数，为 a_1, a_2, dots, a_na1​,a2​,…,an​，即初始时 nn 只蚯蚓的长度。

    同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。

    保证 1 leq n leq 10^51≤n≤105，0 leq m leq 7 imes 10^60≤m≤7×106，0 < u < v leq 10^90<u<v≤109，0 leq q leq 2000≤q≤200，1 leq t leq 711≤t≤71，0 leq a_i leq 10^80≤ai​≤108。

    输出格式

    第一行输出 left lfloor frac{m}{t} ight floor⌊tm​⌋ 个整数，按时间顺序，依次输出第 tt 秒，第 2t2t 秒，第 3t3t 秒，……被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。

    第二行输出 left lfloor frac{n+m}{t} ight floor⌊tn+m​⌋ 个整数，输出 mm 秒后蚯蚓的长度；需要按从大到小的顺序，依次输出排名第 tt，第 2t2t，第 3t3t，……的长度。

    同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要输出，你也应输出一个空行。

    请阅读样例来更好地理解这个格式。

    输入输出样例

    输入 #1 
    3 7 1 1 3 1
3 3 2
    输出 #1 
    3 4 4 4 5 5 6
6 6 6 5 5 4 4 3 2 2
    输入 #2 
    3 7 1 1 3 2
3 3 2
    输出 #2 
    4 4 5
6 5 4 3 2
    输入 #3 
    3 7 1 1 3 9
3 3 2
    输出 #3 
    //空行
2

    说明/提示

    【样例解释1】

    在神刀手到来前：33只蚯蚓的长度为3,3,23,3,2。

    11秒后：一只长度为33的蚯蚓被切成了两只长度分别为11和22的蚯蚓，其余蚯蚓的长度增加了11。最终44只蚯蚓的长度分别为(1,2),4,3(1,2),4,3。括号表示这个位置刚刚有一只蚯蚓被切断

    22秒后：一只长度为44的蚯蚓被切成了11和33。55只蚯蚓的长度分别为：2,3,(1,3),42,3,(1,3),4。

    3秒后：一只长度为44的蚯蚓被切断。66只蚯蚓的长度分别为：3,4,2,4,(1,3)3,4,2,4,(1,3)。

    44秒后：一只长度为44的蚯蚓被切断。77只蚯蚓的长度分别为：4,(1,3),3,5,2,44,(1,3),3,5,2,4。

    55秒后：一只长度为55的蚯蚓被切断。88只蚯蚓的长度分别为：5,2,4,4,(1,4),3,55,2,4,4,(1,4),3,5。

    66秒后：一只长度为55的蚯蚓被切断。99只蚯蚓的长度分别为：(1,4),3,5,5,2,5,4,6(1,4),3,5,5,2,5,4,6。

    77秒后：一只长度为66的蚯蚓被切断。1010只蚯蚓的长度分别为：2,5,4,6,6,3,6,5,(2,4)2,5,4,6,6,3,6,5,(2,4)。所以，77秒内被切断的蚯蚓的长度依次为3,4,4,4,5,5,63,4,4,4,5,5,6。77秒后，所有蚯蚓长度从大到小排序为6,6,6,5,5,4,4,3,2,26,6,6,5,5,4,4,3,2,2

    【样例解释2】

    这个数据中只有t=2t=2与上个数据不同。只需在每行都改为每两个数输出一个数即可。

    虽然第一行最后有一个66没有被输出，但是第二行仍然要重新从第二个数再开始输出。

    【样例解释3】

    这个数据中只有t=9t=9与上个数据不同。

    注意第一行没有数要输出，但也要输出一个空行。

    【数据范围】

    完成版的题目我搬过来了，大家直接看就好

    这道题直接模拟用优先队列是一定会TLE的

    所以我们一定要找别的方法

    关键点: 发现此题中隐含的单调性.

    　　发现先被切掉的蚯蚓分成的蚯蚓一定比后切掉的蚯蚓分成的蚯蚓大. 　　假设这两只蚯蚓分别为a,ba,b,其中a>ba>b.那么它被切成a_1,a_2a1​,a2​.　t秒后, bb被切成了b_1,b_2b1​,b2​.此时a_1,a_2a1​,a2​的长度为l_{a_1}+t=pl_{a}+t,l_{a_2}+t=(1-p)l_a+tla1​​+t=pla​+t,la2​​+t=(1−p)la​+t.而b_1,b_2b1​,b2​的长度却为p(l_b+t),(1-p)(1_b+t)p(lb​+t),(1−p)(1b​+t), 容易看出l_{a_1}>l_{b_1},l_{a_2}>l_{b_2}la1​​>lb1​​,la2​​>lb2​​.也就是说根本不需要用一个堆来维护, 它本来就具有一定单调性.

    　　那么就是说如果蚯蚓a_1,a_2,cdots,a1​,a2​,⋯,满足a_1>a_2>cdotsa1​>a2​>⋯,那么以此分成两只a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},cdotsa11​,a12​,a21​,a22​,⋯.那么a_{12}>a_{22}>cdots,a_{11}>a_{21}>cdotsa12​>a22​>⋯,a11​>a21​>⋯

    　　那么就可以将这两堆依次存储, 加上还没被切过的蚯蚓.每次要切时在这三堆里面选择最大的, 切完再依次放回去. 　　所以这么做时间复杂度为O(m).再优化一下细节基本上就没问题了.

    　　结论: 善于发现题目中隐含的单调性.

    先看一个代码：

     1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <queue>
 4 #include <cmath>
 5 using namespace std;
 6 int n,m,q,u,v,t;
 7 queue<int> q1,q2,q3;
 8 int a[100005];
 9 priority_queue<int> ans;
10 bool cmp(const int &a,const int &b){
11     return a>b;
12 }
13 int main(){
14     //freopen("a.in","r",stdin);
15     scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&q,&u,&v,&t);
16     double p=0;p=(double)u/v;
17     for(int i=1;i<=n;i++){
18         scanf("%d",&a[i]);
19     }
20     sort(a+1,a+n+1,cmp);
21     for(int i=1;i<=n;i++){
22         q1.push(a[i]);
23     }
24     int top=0,now=0;
25     for(int i=1;i<=m;i++){
26         int x1=-0x3f3f3f3f,x2=-0x3f3f3f3f,x3=-0x3f3f3f3f;
27         if(q1.size())x1=q1.front();
28         if(q2.size())x2=q2.front();
29         if(q3.size())x3=q3.front();
30         if(x1>=x2&&x1>=x3){top=x1;q1.pop();}
31         else if(x2>=x1&&x2>=x3){top=x2;q2.pop();}
32         else {top=x3;q3.pop();}
33         top+=now;
34         int p1=floor(p*(double)top);long long p2=top-p1;
35         now+=q;
36         p1-=now;p2-=now;
37         q2.push(p1);q3.push(p2);
38         if(i%t==0)printf("%d ",top);
39     }
40     printf("
");
41     while(q1.size()){
42         ans.push(q1.front());
43         q1.pop();
44     }
45     while(q2.size()){
46         ans.push(q2.front());
47         q2.pop();
48     }
49     while(q3.size()){
50         ans.push(q3.front());
51         q3.pop();
52     }
53     int tot=0;
54     while(ans.size()){
55         tot++;
56         if(tot%t==0){
57             printf("%d ",ans.top()+now);
58         }
59         ans.pop();
60     }
61     return 0;
62 }

    为什么要看这个代码，

    因为这个代码90分，但是是按照单调队列写的，

    为啥，因为用的是STL里的容器，

    所以一定要手模队列，千万不要为了省事而去用STL

    太坑了。

    当然也可写读入优化

    但是也仅仅只能在洛谷上拿到100分

    不是数据水，是洛谷评测机太牛逼。

    换个网站你就挂了。

    下面是代码：

     1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<iostream>
 5 #include<queue>
 6 using namespace std;
 7 #define ll long long 
 8 #define maxn 7000005
 9 int a[maxn];
10 ll q1[maxn],q2[maxn];
11 int cmp(int a,int b){ return a>b; }
12 int main(){
13     //freopen("a.in","r",stdin);
14     int n,m,q,u,v,t;
15     scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&q,&u,&v,&t);
16     for(int i=1;i<=n;++i){
17         scanf("%d",&a[i]);
18     }
19     sort(a+1,a+1+n,cmp);
20     int HA=1,TA=n,HX=1,HD=1,TX=0,TD=0;
21     ll no=0,all=0;
22     int S=m;
23     while(S--){
24         no++;
25         ll ans=-0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
26         if(HA<=TA && a[HA]>=ans) ans=a[HA];
27         if(HX<=TX && q1[HX]>=ans) ans=q1[HX];
28         if(HD<=TD && q2[HD]>=ans) ans=q2[HD];
29         if(a[HA]==ans && HA<=TA) HA++;
30         else if(q1[HX]==ans && HX<=TX) HX++;
31         else HD++;
32         ans+=all;
33         if(no%t==0) printf("%lld ",ans);
34         ll left=u*ans/v;
35         ll right=ans-left;
36         all=no*q;
37         left-=all,right-=all;
38         q1[++TX]=min(left,right);
39         q2[++TD]=max(left,right);
40     }
41     printf("
");
42     int now=n+m;
43     for(int i=1;i<=now;++i){
44         ll ans=-0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
45         if(HA<=TA && a[HA]>=ans) ans=a[HA];
46         if(HX<=TX && q1[HX]>=ans) ans=q1[HX];
47         if(HD<=TD && q2[HD]>=ans) ans=q2[HD];
48         if(a[HA]==ans && HA<=TA) HA++;
49         else if(q1[HX]==ans && HX<=TX) HX++;
50         else HD++;
51         if(i%t==0) printf("%lld ",ans+all);
52     }
53     printf("
");
54     return 0;
55 }

    当然这样已经可以A了

    所以这道题也就结束了

    如果在vjudge上实在过不了，

    可以去洛谷，振强自信心。
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