SG函数学习小计

参考博文

SG函数的定义

SG函数用于Nim游戏中
定义mex(S)表示不在S集合中的最小整数
对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S)，其中S为x的后继状态的集合
假设x状态先手必败，那么令SG(x)=0

SG定理（重要）

如果当前游戏可以看成很多个互不相关的子游戏，那么SG(x)=SG(x1) xor SG(x2) xor SG(x3)…
其中x1,x2,x3…为x可以划分成的子游戏。

我的理解：

• 因为SG(x)=mex(S)，所以一定存在子状态i使得SG(i)包括0~SG(x)-1
• 也就是说从x可以将它的SG变成0~SG(x)-1，而最后如果变成0就代表先手必败了。
• 至于变成某个大于当前SG的子状态就不考虑了（似乎没有什么意义）
• 这实际上与Nim游戏十分相似，从n个石子中拿走若干个，最后拿不了就先手必败。
• 而若干个子游戏的SG函数，实际上就相当于若干个石子堆。
• Nim游戏中，若石子堆数异或和为0则先手必败。
• 所以推广到SG函数中输赢的结果还是看子游戏SG函数的异或和是否为0.
• 所以进一步得出SG(x)=SG(x1) xor SG(x2) xor SG(x3)…

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至此SG函数的基本知识就整理完了，实际上并不多

一道例题

JZOJ1895
巧妙地将SG函数、树和字符串结合在了一起。不失为一道可以加深理解的模板题。

根据字符串的前缀关系即父子关系建一棵树，每一次可以删去一个节点，相对应地删去节点到根路径上的所有点，最后删不了的人输。

不难发现不管怎么删，最后一定剩下森林，所以我们可以通过树形DP计算出每个点的子树的SG(x)，因为每个子树都可以看做是一个单独的子游戏。

计算SG(x)，具体可以枚举删去x子树中的点y（深度<=100，所以时间复杂度O(100n)），将x到y的路径删去之后就会变成若干个子树，则当前后继状态的SG等于所有互不相关的子树的SG的异或和。

最后将所有后继状态的SG取mex就可以得到SG(x)

计算答案时，直接枚举第一个，再计算剩余子树是否异或和为0，若为0则先手必胜。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<bitset>
#define maxn 100005
#define maxl 105
using namespace std;

int n,maxlen,i,j,k,fa[maxn],l[maxn],cnt;
char s[maxn][maxl],ch;
int em,e[maxn],nx[maxn],ls[maxn];
int SG[maxn],bz[maxn],sz[maxn],b[maxn];

void insert(int x,int y){
	em++; e[em]=y; nx[em]=ls[x]; ls[x]=em;
}

void GETSG(int x,int S){
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i]) S^=SG[e[i]];
	b[S]=1;
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i])
		GETSG(e[i],S^SG[e[i]]);
}

void DFS(int x){
	sz[x]=1;
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i]) 
		DFS(e[i]),sz[x]+=sz[e[i]];
	for(int i=0;i<=sz[x];i++) b[i]=0;
	GETSG(x,0);
	for(int i=0;i<=sz[x];i++) if (!b[i]){
		SG[x]=i;
		return;
	}
}

void DFS2(int x,int S){
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i]) S^=SG[e[i]];
	if (x&&!S) bz[x]=1;
	for(int i=ls[x];i;i=nx[i])
		DFS2(e[i],S^SG[e[i]]);
}

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&maxlen);
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(ch=getchar();ch==' '||ch=='
';ch=getchar());
		for(;ch!=' '&&ch!='
';ch=getchar())
			s[i][++l[i]]=ch;
		if (i>1) {
			for(j=1;j<=min(l[i],l[i-1])&&s[i][j]==s[i-1][j];j++);
			j--;
			if (j==l[i-1]) fa[i]=i-1; else {
				for(k=i-1;k&&l[k]>j;k=fa[k]);
				fa[i]=k;
			}
		}
		insert(fa[i],i);
	}
	
	DFS(0);	
	DFS2(0,0);
	cnt=0;
	for(i=1;i<=n;i++) if (bz[i]) {
		for(j=1;j<=l[i];j++) {
			cnt++; 
			putchar(s[i][j]);
			if (cnt%50==0) printf("
");
		}
	}
	if (!cnt) printf("Can’t win at all!!");
}