欧拉函数&&欧拉定理

定义和简单性质

欧拉函数在OI中是个非常重要的东西,不知道的话会吃大亏的.

欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.

对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).

欧拉函数的一些性质:

1.对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1

欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数.

2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.

 

   φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).

 

3.除了N=2,φ(N)都是偶数.

 

4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).

 

根据性质2,我们可以在O(sqrt(n))的时间内求出一个数的欧拉函数值.

 

如果我们要求1000000以内所有数的欧拉函数,怎么办.

上面的方法复杂度将高达O(N*sqrt(N)).

我们来看看线性筛法的程序:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int euler[100];
int Max = 100;
void Init(){     
     euler[1]=1;    
     for(int i=2;i<Max;i++)    
       euler[i] = i;    
     for(int i = 2;i < Max;i++)    
        if(euler[i] == i)    
            for(int j = i;j < Max;j += i)  //注意，j += i
               euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出     
}
int main()
{
    int a; 
    cin>>a;
    Init();
    cout<<euler[a];
    return 0;
}

 

妙啊！！！！！！！！！！！

 

欧拉函数φ

     欧拉定理是用来阐述素数模下，指数同余的性质。

     欧拉定理：对于正整数N，代表小于等于N的与N互质的数的个数，记作φ(N)

     例如φ(8)=4，因为与8互质且小于等于8的正整数有4个，它们是：1,3,5,7

    欧拉定理还有几个引理，具体如下：

    ①：如果n为某一个素数p，则φ(p)=p-1;

    ①很好证明：因为素数p的质因数只有1和它本身，p和p不为互质，所以φ(p)=p-1；

 

    ②：如果n为某一个素数p的幂次，那么φ(p^a)=(p-1)*p^(a-1)；

    ②因为比p^a小的数有p^a-1个，那么有p^(a-1)-1个数能被p所整除（因为把1~p^a-1的p的倍数都筛去了）

       所以φ(p)=p^a-1-(p^(a-1)-1)=(p-1)*p^(a-1)

 

    ③：如果n为任意两个数a和b的积，那么φ(a*b)=φ(a)*φ(b)

    ③因为比a*b小的数有a*b-1个，条件是a与b互质

       那么可以知道，只有那些既满足a与其互质且既满足b与其互质的数满足条件。

       根据乘法原理，这样的数可以互相组合，那么就有φ(a)*φ(b)个

       所以可以得知φ(a*b)=φ(a)*φ(b) (注意条件必须满足a和b互质)

 

   ④：设n=(p1^a1)*(p2^a2)*……*(pk^ak) (为N的分解式)

         那么φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*……*(1-1/pk)

   ④因为各个分解完的p1、p2、……pk均为素数，所以它们均为互质的

      每次再刨去它们本身，乘起来

      剩下的运用容斥原理，再根据引理②和引理③就可以得出

　　其实欧拉定理是费马小定理的推论。。。

    欧拉定理：a^(φ(m))同余1(mod m) (a与m互质)

费马小定理是数论中的一个定理。其内容为假如a是一个整数，p是一个质数的话，那么:

　　a^p = a(mod p)

　　假如a不是p的倍数的话，那么这个定理也可以写成:

　　a^{p − 1} = 1(mod p)