第四节、逆矩阵与转置矩阵

一、关于逆元

　　（这里看不懂可以跳过）

　　在群论中有“逆元”这一概念。

　　提到逆元就要提到另一个概念：单位元（幺元，Identity）。

　　我们依次来介绍，简单来说，设G是一个非空集合，@是它的二元运算，若存在e∈G ，对任意a∈G，有a@e=e@a=a，则称e为单位元

　　举个例子，在实数集合的乘法运算中，1就是单位元，因为任何实数乘上1都等于它自己。

　　什么是逆元呢？

　　设a∈G，若存在b∈G，且ab=e，则称b是a的右逆元，若ba=e，则称b是a的左逆元，若ab=ba=e，则称b是a的逆元

　　举个例子：在实数集合的乘法运算中，1是单位元，任意实数a的逆元是1/a；在实数集合的加法运算中，0是单位元，任意实数a的逆元是-a。

　　接下来，我们来探讨一下矩阵中的逆元与单位元

二、单位矩阵

　　我们现在看看矩阵的单位元（单位矩阵）

　　对于一个n阶方阵（行数等于列数的矩阵叫做方阵），若其主对角线上的元素都是1，其他地方的元素都为0，则称该矩阵为n阶单位矩阵，用I_n或E_n表示（有时也简写为I或E，在后面的文章中我们统一用I表示单位阵）

　　如图是一个三阶单位矩阵I₃=

　　单位阵的性质是任何矩阵乘上它都等于原矩阵，即AI=A,IA=A。

三、逆矩阵

　1.概念

　　设有一个方阵A，若存在一个方阵B，使得AB=I或BA=I，则称B是A的逆矩阵，用A^-1表示（事实上若AB=I,则必有BA=I）。

　　注意：并不是所有矩阵都有逆矩阵。

　2.求逆矩阵（高斯-若尔当消元法）

　　设一个方阵A，我们已经知道，若其存在逆矩阵A^-1，则有A^-1A=I。

　　那么，该如何求得A^-1呢？

　　先思考，之前我们提到过，在矩阵左边乘一个矩阵是对原矩阵作行变换，A^-1A=I可以理解为A按照A^-1进行变换变成了I，那么，如果I按照A^-1进行变换，得到的是什么呢？

　　我们写出两个等式：

　　A^-1A=I

　　A^-1I=A^-1

　　发现什么了么？

　　如果我们对I作与A相同的变换，那么我们得到的就是A^-1

　　还记得之前学过的增广矩阵么？

　　我们假设A=，然后我们把单位阵写在A右边构成增广矩阵

　　现在，我们对A进行消元（连带着变换I）

　　向下消元的步骤就不演示了，消元的结果是

　　经过向下消元我们得到了上三角矩阵，然后，我们再从下往上进行消元，目的是消去除对角线外的所有元素

　　在这里简单写一下步骤：

　　先将-1个第三行与第二行进行线性组合，再将-2个第三行与第一行线性组合，消去第三列多余元素，得到：

　　然后将-1个第二行与第一行线性组合消去第二列多余元素，得到

　　现在，我们已经将A变成了I，而右边的I此时就是A的逆A^-1，读者可以自行验证一下。

　　用一种简单的方式表达上面的过程： A^-1[A  I] = [I  A^-1] 

　　这种方法我们称之为高斯-若尔当消元法

　3.不存在逆矩阵（不可逆）的情况

　　在这里讨论何种情况下矩阵不可逆。

　　我们对方阵A的行进行线性组合，如果能构成单位阵，则该矩阵可逆，若无论怎样都构不成单位阵，那么这个矩阵就不可逆。

　　什么样的矩阵无论怎样都构不成单位阵？

　　回想之前的列图像，如果我们拥有两个不共线的二维向量，那么我们可以用它们构成二维平面上的任一向量。

　　但是，如果两个向量共线，那么无论怎样，我们都只能得到与他们共线的向量，就像一条直线无法确定一个平面一样。

　　好了，回到矩阵，若一个方阵不可逆，则它必定是奇异的（行列式为0），而方阵奇异的条件是方阵中的一个列向量能从其他列向量的线性组合中得到。

　　也许上面的说法没学到后面的知识很难理解，在这里给出另一个解释。

　　如果可以找到一个非零向量X，使得AX=0，则方阵A不可逆（奇异）。

　　反之，如果一个方阵A不可逆，则必可以找到一个非零向量X，使得AX=0。

　　为什么呢？

　　我们可以用反证法证明：

　　设AX=0，且A可逆。

　　则有I=A^-1A

　　有IX=(A^-1A)X=A^-1(AX)=A^-10=0

　　显然，IX=X≠0

　　所以若AX=0，则A不可逆。

　4.乘积的逆

　　AB(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AA^-1=I

　　(B^-1A^-1)AB=B(AA^-1)B^-1=BB^-1=I

　　故：(AB)^-1=B^-1A^-1

　　另：(A^T)^-1=(A^-1)^T

四、转置矩阵

　1.概念

　　何为转置矩阵？将原矩阵A的行与列交换得到的新矩阵就是转置矩阵，用A^T表示。

　　比如的转置是，的转置是

　2.有事出门，回来再写……（2016.8.26）