Fibonacci Sequence

递归

斐波那契数列定义：

\[F(n)=\left\{\begin{matrix}0, n=0\\ 1, n=1\\ F(n-1)+F(n-2), n>1\end{matrix}\right. \]

递归解法最直观，但是复杂度也最高：\(O(2^n)\)

int Fibonacci(int n)
{
    if (n <= 0) //细节可以处理非法输入
        return 0;
    else if (1 == n)
        return 1;
    return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

为了避免重复计算，可以将每一步计算得到的\(F(i)\)存起来，这样的话时间复杂度降为\(O(n)\)，但空间复杂度升为\(O(n)\)。

通项

求解通项的方法有好几种，下面展示一种用线性代数求解的方法：
斐波那契数列的递推公式是二阶差分方程，先用一点小技巧将其化为一阶：

\[\begin{cases}F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}\text{}\\F_{k+1}=F_{k+1}\text{}\\\end{cases} \]

我们令\(u_k=\begin{bmatrix}F_{k+1}\\F_{k}\\\end{bmatrix}\)，那么\(u_{k+1}=\begin{bmatrix}F_{k+2}\\F_{k+1}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\ 1\\1\ 0\\\end{bmatrix}u_k\)。
矩阵\(A=\begin{bmatrix} 1\ 1\\1\ 0\\\end{bmatrix}\)，令\(det(A-\lambda I)=\lambda^2-\lambda-1=0\)，求得\(\lambda=\frac{1\pm \sqrt5}{2}\)，对应于两个特征值的特征向量为\(x_1=\begin{bmatrix} \lambda_1\\ 1\\ \end{bmatrix},x_2=\begin{bmatrix} \lambda_2\\ 1\\ \end{bmatrix}\)。
求得特征值和特征向量后，我们将\(u_0=\begin{bmatrix} F_1\\ F_0\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix}=c_1x_1+c_2x_2\)，解得\(c_1=-\frac{1}{\sqrt5}, c_2=\frac{1}{\sqrt5}\)
故
\(u_k=S\Lambda^{k}c=\begin{bmatrix} c_1\lambda_1^{k+1}+c_2\lambda_2^{k+1}\\c_1\lambda_1^{k}+c_2\lambda_2^{k}\\\end{bmatrix}\)
所以通项公式可以表示为\(F(n)=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n\)。
故斐波那契数列的通项公式为：\(F(n)=\frac{1}{\sqrt5}[(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n]\)
用公式求解的复杂度为\(O(1)\)，但是由于无理数在计算机中的存储不是精确的，所以结果的精度很难保证。

分治

通过矩阵形式的递推：

\[\begin{bmatrix}F(n)\\ F(n-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\ 1\\ 1\ 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F(n-1)\\ F(n-2)\end{bmatrix} \]

不断向下递推，可以得到：

\[\begin{bmatrix}F(n)\\ F(n-1)\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}1\ 1\\ 1\ 0\end{bmatrix}}^{n-1}\begin{bmatrix}F(1)\\ F(0)\end{bmatrix} \]

接下来就是求解矩阵的高次方，通过快速幂可以在\(O(logn)\)时间内进行计算：
整数的快速幂代码：

int QuickPow(int a,int n)
{
    int ans = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans *= a;
        a *= a;
        n >>= 1;
    }

    return ans;
}

// 递归版本
int raise(int base, int exp) {
    if (exp == 0)
        return 1;
    int half = raise(base, exp / 2);
    if (exp % 2)
        return base * half * half;
    else
        return half * half;
}

将传入的参数改为矩阵，乘法改为矩阵乘法，就可以得到矩阵快速幂：
以二阶矩阵为例，求解斐波那契数列：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include <iostream>

using namespace std;

struct Matrix {
    int a[2][2];
}base,ans;

Matrix multi(Matrix a, Matrix b)
{
    Matrix res;
    for (int i = 0; i < 2; i++) //第i行
    {
        for (int j = 0; j < 2; j++)  //第j列
        {
            res.a[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < 2; k++)
                res.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
        }
    }

    return res;
}

Matrix QuickPow(int n)
{
    base.a[0][0] = base.a[0][1] = base.a[1][0] = 1;
    base.a[1][1] = 0;   //初始化矩阵

    //结果矩阵初始化为单位阵
    ans.a[0][0] = ans.a[1][1] = 1;
    ans.a[1][0] = ans.a[0][1] = 0;

    while (n)
    {
        if (n & 1)
        {
            ans = multi(ans, base);
        }
        base = multi(base, base);
        n >>= 1;
    }

    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    QuickPow(n);
    cout << ans.a[1][0] << endl;

    return 0;
}

动态规划

int Fibonacci(int n) {
    int a = 0, b = 1;
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i < n;++i) {
        ans = a + b;
        a = b;
        b = ans;
    }
    return ans;
}

Refs

斐波那契数列