前缀和、二维前缀和与差分

前缀和

假如给出一串长度为n的数列a1,a2,a3...an,再给出m个询问，每次询问给出L，R两个数，要求给出数列在区间[L,R]的和

普通的方法,时间复杂度为O(n*m)

int a[100005];
for(int i=1;i<=n;i++){
    scanf("%d",&a[i]);
}
int sum=0;
while(m--){
    for(int i=L;i<=R;i++){
        sum+=a[i];
    }
}

前缀和就是前面i个数的总和，对于每个询问，只需要输出a[R]-a[L-1]即可
用前缀和的方法,时间复杂度O(m+n)
前缀和求法

int a[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
    a[i]+=a[i-1];
}

差分

假如给出一串长度为n的数列a1,a2,a3...an,再给出m次以及不同的L和R[L,R]操作
操作一：将[L,R]内的元素都加上P
操作二：将[L,R]内的元素都减去P
最后求[L,R]内的元素之和

普通方法时间复杂度为O(m*n)

利用差分+前缀和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int manx=1e5+5;
int a[maxn],b[maxn];
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int l,r,t,p;//t为操作类型,p为加减的大小
        cin>>t>>l>>r>>p;
        if(t==1){//t==1表示加
            b[l]+=p;b[r+1]-=p;//因为操作一我只需对[L,R]区间里的数加p，[R+1,n]这个区间里的数没必要加p，所以需要减掉p。
        }else{//t==0表示减
            b[l]-=p;b[r+1]+=p;
        }
    }
    int add=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        add+=b[i];
        a[i]+=a[i-1]+add;
    }
    cin>>l>>r;
    printf("%d
",a[r]-a[l-1]);
    return 0;
}

裸差分

第一行输入两个整数n，q。(1<= n, q <= 1e5)接下来q行，
每行输入两个整数l, r(l <= r)，表示andy让标号落在区间[l, r]里的数高度都加1
输出所有数的现状

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int a[maxn],b[maxn];
int main(){
    int n,q;
    cin>>n>>q;
    while(q--){
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        b[l]++;
        b[r+1]--;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]+=a[i-1]+b[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d ",a[i]);
    }
    putchar('
');

    return 0;
}

二维前缀和

给定一个n*m大小的矩阵a，有q次询问，每次询问给定x1,y1,x2,y2四个数，求以(x1,y1)为左上角坐标和(x2,y2)为右下角坐标的子矩阵的所有元素和。注意仍然包含左上角和右下角的元素。

二维前缀和求法
n行m列

memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=m;j++){
        a[i][j]+=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1];//因为a[i-1][j-1]的值被加了两次
    }
}

1 2 3
2 1 2
2 1 1
前缀和
1 3 6
3 6 11
5 9 15