二项式定理求自然数幂和
由二项式定理展开得
[(n+1)^{k+1}-n^{k+1}=inom {k+1}1n^k+inom {k+1}2n^{k-1}+cdots+inom {k+1}kn+1
]
那么，对于所有的(n=1,2,3,cdots)累加得到
[(n+1)^{k+1}-1=inom{k+1}1sum_{i=1}^ni^k+inom{k+1}2sum_{i=1}^ni^{k-1}+cdots+inom {k+1}ksum_{i=1}^ni+n
]
进一步得到
[sum_{i=1}^ni^k=frac1{k+1}[(n+1)^{k+1}-(inom{k+1}2sum_{i=1}^ni^{k-1}+cdots+inom {k+1}ksum_{i=1}^ni+n+1)]
]
计(S(n,k)=sum_{i=1}^ni^k)，可以得到
[S(n,k)=frac1{k+1}[(n+1)^{k+1}-(inom{k+1}2S(n,k-1)+cdots+inom {k+1}kS(n,1)+n+1)]
]
当(k==1)，有(S(n,1)=frac{ncdot(n+1)}{2})。
加入记忆化即可。
伯努利数
[sum_{i=1}^ni^k=frac{1}{k+1}sum_{i=1}^{k+1}inom {k+1}iB_{k+1-i}(n+1)^i
]
伯努利数满足(B_0=1)，且有
[sum_{k=0}^ninom{n+1}kB_k=0
]
那么有
[B_n=-frac1{n+1}(inom{n+1}0B_0+inom{n+1}1B_1+dots+inom{n+1}{n-1}B_{n-1})
]
这样就可以(O(n^2))预处理出伯努利数。
还可以对(B_i)构建指数型生成函数
[B(x)=sum_{i=0}^infty frac{B_i}{i!}x^i
]
经过我也不懂得化简得到
[egin{split}
B(x)=frac{x}{e^x-1}\
B[x]=ifac[x+1]
end{split}
]
可以利用多项式求逆在(O(nlog n))计算伯努利数。
例题 51nod 1228 序列求和
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=10005,K=2005,mod=1e9+7;
using namespace std;
inline LL Getint(){register LL x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int inv[N],fac[N],ifac[N],B[N];
int C(int n,int m){
if(n<m)return 0;
return (LL)fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;
}
int S(LL n,int k){
int ret=0;
LL ori=(n+1)%mod,fac=ori;
for(int i=1;i<=k+1;i++,fac=(LL)fac*ori%mod)
ret=(ret+(LL)C(k+1,i)*B[k+1-i]%mod*fac)%mod;
return (LL)(ret+mod)%mod*inv[k+1]%mod;
}
int main(){
inv[1]=fac[0]=ifac[0]=1;
for(int i=2;i<=K;i++)inv[i]=(LL)inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
for(int i=1;i<=K;i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
for(int i=1;i<=K;i++)ifac[i]=(LL)ifac[i-1]*inv[i]%mod;
B[0]=1;
for(int i=1;i<=K;i++){
for(int j=0;j<i;j++)
B[i]=(B[i]-(LL)B[j]*C(i+1,j))%mod;
B[i]=(LL)B[i]*inv[i+1]%mod;
}
int T=Getint();
while(T--){
LL n=Getint(),k=Getint();
cout<<S(n,k)<<'
';
}
return 0;
}