对于△ABC证明：
①三角形的三条中线交于一点：
等腰三角形：作中线BD、CE与AC、AB交于D、E，相交于O，连接AO并延长交BC于F；
证△ABD全等于△ACE，再证△EBO全等于△DCO，得BO=CO，又AB=AC，所以AF为△ABC的中线；
普通三角形：在前面的基础上过B作CG∥BD，交AF的延长线于G，连接AG；
易证O为AG中点（用相似），再得BG∥CE，即四边形BGCO为平行四边形，F为对角线交点，得BF=CF，所以AF为△ABC的中线；
②三角形的三条高交于一点：
锐角三角形：作三条高AD、BE、CF，BD与AF交于O1、CE与BD交于O2、AF与CE交于O3；
用相似证得AD*AC=AE*AB、AO1*AF=AD*AC、AO3*AF=AE*AB，等量代换得AO1*AF=AO3*AF，即AO1=AO3，O1、O3重合，则它们也与O2重合，所以三角形的三条高交于一点；
钝角三角形：自己证吧！
③三角形三条角平分线交于一点：
三角形两条角平分线的交点到三角形三边距离相等，则这个交点与第三边连线为角平分线，所以三角形三条角平分线交于一点；
④三角形三边垂直平分线交于一点： 三角形两条垂直平分线的交点与三角形三点所连线段相等，则这个交点也在第三边的垂直平分线上，所以三角形三边垂直平分线交于一点；
另外，塞瓦定理和向量可以直接秒杀……
完……