http://www.zizzs.com/gaokaomoni/
http://gaokao.xdf.cn/list_1023_1.html
egin{Example}
(2011北京)椭圆$displaystyle G: frac{x^2}{4}+y^2=1$.过点$(m,0)$作图$x^2+y^2=1$的切线$l$交椭圆$G$于$A,B$两点.
egin{enumerate}
item[(I)] 求椭圆$G$的焦点坐标和离心率;
item[(II)] 将$|AB|$表示为$m$的函数，并求$|AB|$的最大值.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Example}
(2011北京)若数列$A_n:a_1,a_2,cdots,a_n(ngeq 2)$满足$|a_{k+1}-a_k|=1(k=1,2,cdots,n-1)$,则称$A_n$为$E$数列.记$S(A_n)=a_1+a_2+cdots+a_n$.
egin{enumerate}
item[(I)] 写出一个满足$a_1=a_5=0$,且$S(A_5)>0$的$E$数列$A_5$;
item[(II)] 若$a_1=12,n=2000$,证明: $E$数列$A_n$是递增数列的充要条件是$a_n=2011$;
item[(III)] 对任意给定的整数$n\, (ngeq 2)$,是否存在首项为$0$的$E$数列$A_n$,使得$S(A_n)=0$ ?如果存在,写出一个满足条件的$E$数列$A$;如果不存在,说明理由.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
egin{enumerate}
item[(I)] $0,1,2,1,0$是一个满足条件的$E$数列$A_5$.
(答案不唯一, $0,1,0,1,0;0,- 1,0,1,0$也是满足条件的$E$数列$A_5$)
item[(II)] 必要性:因为$E$数列$A_n$是递增数列,所以$a_{k+1}-a_k=1\, (k=1,2,cdots,1999)$,所以$A_n$是首项为$12$,公差为$1$的等差数列,所以$a_{2000}=12+(2000-1) imes 1=2011$.
充分性:由于$a_{2000}-a_{1999}leq 1,a_{1999}-a_{1998}leq 1,cdots,a_2-a_1leq 1$,所以$a_{2000}-a_1leq 1999$,即$a_{2000}leq a_1+ 1999$.又因为$a_1=12,a_{2000}=2011$,所以$a_{2000}=a_1+1999$.故$a_{k+1}-a_k=1>0\, (k=1,2,cdots,1999)$,即$A_n$是递增数列.
综上,结论得证.
item[(III)] 令$c_k=a_{k+1}-a_k=1>0\, (k=1,2,cdots,n-1)$,则$c_k=pm 1$.因为$a_2=a_1+c_1,a_3=a_1+c_1+c_2,cdots,a_n=a_1+c_1+c_2+cdots+c_{n-1}$,所以
egin{align*}
S_n =& na_1+(n-1)c_1+(n-2)c_2+(n-3)c_3+cdots+c_{n-1}\
=&(n-1)+(n-2)+cdots+1\
&-[(1-c_1)(n-1)+(1-c_2)(n-2)+cdots+(1-c_{n-1})]\
=&frac{n(n-1)}{2}-[(1-c_1)(n-1)+(1-c_2)(n-2)+cdots+(1-c_{n-1})].
end{align*}
因为$c_k=pm 1$,所以$1-c_k$为偶数($k=1,2,cdots,n-1$),所以$(1-c_1)(n-1)+(1-c_2)(n-2)+cdots+(1-c_{n-1})$为偶数.
所以要使$S(A_n)=0$,必须使$frac{n(n-1)}{2}$为偶数,即$4$整除$n(n-1)$,亦即$n=4m$或$n=4m+1$ ($minmathbb{N}^ast$).
当$n=4m$ ($minmathbb{N}^ast$)时, $E$数列$A_n$的项满足$a_{4k+1}=a_{4k-1}=0,a_{4k-2}=-1,a_{4k}=1$\, $(k=1,2,cdots,m)$时,有$a_1=0,S(A_n)=0$;
当$n=4m+1$ ($minmathbb{N}^ast$)时, $E$数列$A_n$的项满足$a_{4k-1}=a_{4k-3}=0,a_{4k-2}=-1,a_{4k}=1\, (k=1,2,cdots,m)$时,有$a_1=0,S(A_n)=0$;
当$n=4m+2$或$n=4m+3$ ($minmathbb{N}$)时, $n(n-1)$不能被$4$整除,此时不存在$E$数列$A_n$,使得$a_1=0,S(A_n)=0$.
end{enumerate}
end{Proof}
egin{Example}
(2012北京)设$A$是由$m imes n$个实数组成的$m$行$n$列的数表,满足:每个数的绝对值不大于$1$,且所有数的和为零.记$S(m,n)$为所有这样的数表构成的集合.
对于$A=S(m,n)$,记$r_i(A)$为$A$的第$i$行各数之和$(1leq ileq m)$, $c_i(A)$为$A$的第$j$列各数之和$(1leq jleq n)$.
记$k(A)$为$|r_1(A)|,|r_2(A)|,cdots,|r_m(A)|,|c_1(A)|,|c_2(A)|,cdots,|c_n(A)|$中的最小值.
egin{enumerate}
item[(I)] 对如下数表$A$,求$k(A)$的值;
egin{figure}[!htbp]
centering
egin{tabular}{|c|c|c|}
hline
% after \: hline or cline{col1-col2} cline{col3-col4} ...
$1$ & $1$ & $-0.8$ \ hline
$0.1$ & $-0.3$ & $-1$ \
hline
end{tabular}
end{figure}
item[(II)] 设数表$Ain S(2,3)$形如
egin{figure}[!htbp]
centering
egin{tabular}{|c|c|c|}
hline
% after \: hline or cline{col1-col2} cline{col3-col4} ...
$1$ & $1$ & $c$ \ hline
$a$ & $b$ & $-1$ \
hline
end{tabular}
end{figure}
求$k(A)$的最大值;
item[(III)] 给定正整数$t$,对于所有的$Ain S(2,2t+1)$,求$k(A)$的最大值.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
egin{enumerate}
item[(I)] 由题意可知$r_1(A)=1.2,r_2(A)=-1.2,c_1(A)=1.1,c_2(A)=0.7,c_3(A)=-1.8$,所以$k(A)=0.7$.
item[(II)] 先用反证法证明$k(A)leq 1$.
若$k(A)>1$,则$|c_1(A)|=|a+1|=a+1>1$,所以$a>0$.同理可知$b>0$,所以$a+b>0$.由题目所有数和为$0$,即$a+b+c=-1$,所以$c=-1-a-b<-1$,与题目条件矛盾,所以$k(A)leq 1$.
易知当$a=b=0$时, $k(A)=1$存在.所以$k(A)$的最大值为$1$.
extbf{注:}事实上,只需求$max{min{a+1,b+1,|1-a-b|}}$.
item[(III)] $k(A)$的最大值为$displaystylefrac{2t+1}{t+2}$.
首先构造满足$displaystyle k(A)=frac{2t+1}{t+2}$的$A={a_{i,j}}(i=1,2;j=1,2,cdots,2t+1)$:
egin{align*}
a_{1,1}&=a_{1,2}=cdots=a_{1,t}=1,\
a_{1,t+1}&=a_{1,t+2}=cdots=a_{1,2t+1}=-frac{t-1}{t+2},\
a_{2,1}&=a_{2,2}=cdots=a_{2,t}=frac{t^2+t+1}{t(t+2)},\
a_{2,t+1}&=a_{2,t+2}=cdots=a_{2,2t+1}=-1.
end{align*}
经计算知, $A$中每个元素的绝对值都小于$1$,所有元素之和为$0$,且
egin{align*}
|r_1(A)|&=|r_2(A)|=frac{2t+1}{t+2},\
|c_1(A)|&=|c_2(A)|=cdots=|c_t(A)|=1+frac{t^2+t+1}{t(t+2)}
>1+frac{t+1}{t+2}>frac{2t+1}{t+2},\
|c_{t+1}(A)|&=|c_{t+2}(A)|=cdots=|c_{2t+1}(A)|=1+frac{t-1}{t+2}=frac{2t+1}{t+2}.
end{align*}
下面证明$displaystylefrac{2t+1}{t+2}$是最大值.若不然,则存在一个数表$Ain S(2,2t+1)$,使得$displaystyle k(A)=x>frac{2t+1}{t+2}$.
由$k(A)$的定义知$A$的每一列两个数之和的绝对值都不小于$x$,而两个绝对值不超过$1$的数的和,其绝对值不超过$2$,故$A$的每一列两个数之和的绝对值都在区间$[x,2]$中.由于$x>1$,故$A$的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于$x-1$.
设$A$中有$g$列的列和为正,有$h$列的列和为负,由对称性不妨设$g<h$,则$gleq t,hgeq t+1$.另外,由对称性不妨设$A$的第一行行和为正,第二行行和为负.
考虑$A$的第一行,由前面结论知$A$的第一行有不超过$t$个正数和不少于$t+1$个负数,每个正数的绝对值不超过$1$ (即每个正数均不超过$1$),每个负数的绝对值不小于$x-1$ (即每个负数均不超过$1-x$).因此
egin{align*}
|r_1(A)|&=r_1(A)leq tcdot 1+(t+1)(1-x)\
&=2t+1-(t+1)x=x+(2t+1-(t+2)x)<x,
end{align*}
故$A$的第一行行和的绝对值小于$x$,与假设矛盾.因此$k(A)$的最大值为$displaystylefrac{2t+1}{t+2}$.
end{enumerate}
end{Proof}
egin{Example}
(2013北京)已知${a_n}$是由非负整数组成的无穷数列,该数列前$n$项的最大值记为$A_n$,第$n$项之后各项$a_{n+1},a_{n+2},dots$的最小值记为$B_n$, $d_n=A_n-B_n$.
egin{enumerate}
item[(I)] 若${a_n}$为$2,1,4,3,2,1,4,3cdots$,是一个周期为$4$的数列(即对任意$ninmathbb{N}^ast$, $a_{n+4}=a_n$),写出$d_1,d_2,d_3,d_4$的值;
item[(II)] 设$d$是非负整数,证明: $d_n=-d\, (n=1,2,3,cdots)$的充分必要条件为${a_n}$是公差为$d$的等差数列;
item[(III)] 证明:若$a_1=2,d_n=1\, (n=1,2,3,cdots)$, 则${a_n}$的项只能是$1$或者$2$,且有无穷多项为$1$.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
egin{enumerate}
item[(I)] $d_1=d_2=1,d_3=d_4=3$.
item[(II)] (充分性)因为${a_n}$是公差为$d$的等差数列,且$Dgeq 0$,所以$a_1leq a_2leqcdotsleq a_nleqcdots$.因此$A_n=a_n,B_n=a_{n+1},d_n=a_n-a_{n+1}=-d\, (n=1,2,3,cdots)$.
(必要性)因为$d_n=-dleq 0\, (n=1,2,3,cdots)$,所以$A_n=B_n+d_nleq B_n$.又因为$a_nleq A_n,a_{n+1}geq B_n$,所以$a_nleq a_{n+1}$.于是, $A_n=a_n,B_n=a_{n+1}$,因此$a_{n+1}-a_n=B_n-A_n=-d_n=d$,即${a_n}$是公差为$d$的等差数列.
item[(III)] 因为$a_1=2,d_1=1$,所以$A_1=a_1=2,B_1=A_1-d_1=1$.故对任意$ngeq 1$, $a_ngeq B_1=1$.
假设${a_n}(ngeq 2)$中存在大于$2$的项.设$m$为满足$a_m>2$的最小正整数,则$mgeq 2$,并且对任意$1leq k<m$, $a_kleq 2$.又因为$a_1=2$,所以$A_{m-1}=2$,且$A_m=a_m>2$.于是, $B_m=A_m-d_m>2-1=1,B_{m-1}=min{a_m,B_m}geq 2$.故$d_{m-1}=A_{m-1}-B_{m-1}leq 2-2=0$,与$d_{m-1}=1$矛盾.所以对于任意$ngeq 1$,有$a_nleq 2$,即非负整数列${a_n}$的各项只能为$1$或$2$.
因为对任意$ngeq 1$, $a_nleq 2=a_1$,所以$A_n=2$.故$B_n=A_n-d_n=2-1=1$.
因此对于任意正整数$n$,存在$m$满足$m>n$,且$a_m=1$,即数列${a_n}$有无穷多项为$1$.
end{enumerate}
end{Proof}
egin{Example}
(2012北京)设$A$是由$m imes n$个实数组成的$m$行$n$列的数表,满足:每个数的绝对值不大于$1$,且所有数的和为零.记$S(m,n)$为所有这样的数表构成的集合.
对于$A=S(m,n)$,记$r_i(A)$为$A$的第$i$行各数之和$(1leq ileq m)$, $c_i(A)$为$A$的第$j$列各数之和$(1leq jleq n)$.
记$k(A)$为$|r_1(A)|,|r_2(A)|,cdots,|r_m(A)|,|c_1(A)|,|c_2(A)|,cdots,|c_n(A)|$中的最小值.
egin{enumerate}
item[(I)] 对如下数表$A$,求$k(A)$的值;
egin{figure}[!htbp]
centering
egin{tabular}{|c|c|c|}
hline
% after \: hline or cline{col1-col2} cline{col3-col4} ...
$1$ & $1$ & $-0.8$ \ hline
$0.1$ & $-0.3$ & $-1$ \
hline
end{tabular}
end{figure}
item[(II)] 设数表$Ain S(2,3)$形如
egin{figure}[!htbp]
centering
egin{tabular}{|c|c|c|}
hline
% after \: hline or cline{col1-col2} cline{col3-col4} ...
$1$ & $1$ & $c$ \ hline
$a$ & $b$ & $-1$ \
hline
end{tabular}
end{figure}
求$k(A)$的最大值;
item[(III)] 给定正整数$t$,对于所有的$Ain S(2,2t+1)$,求$k(A)$的最大值.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
end{Proof}
计算行列式
[left| egin{array} { c c c c } { a } & { b } & { c } & { d } \ { - b } & { a } & { - d } & { c } \ { - c } & { d } & { a } & { - b } \ { - d } & { - c } & { b } & { a } end{array}
ight|.]
心形线:
[r=a(1-sin heta)]
[x ^ { 2 } + left( y - sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } ight) ^ { 2 } = 1]
[5 x ^ { 2 } - 6 | x | y + 5 y ^ { 2 } = 128]
[left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 1 ight) ^ { 3 } - x ^ { 2 } y ^ { 3 } = 0]
[left( x ^ { 2 } + frac { 9 } { 4 } y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - 1 ight) ^ { 3 } - x ^ { 2 } z ^ { 3 } - frac { 9 } { 80 } y ^ { 2 } z ^ { 3 } = 0,quad -3leq x,y,zleq 3]
[left( 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - 1 ight) ^ { 2 } - frac { x ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 10 } - y ^ { 2 } z ^ { 2 } = 0,quad -3leq x,y,zleq 3 ]
egin{Example}
(2013北京)已知${a_n}$是由非负整数组成的无穷数列,该数列前$n$项的最大值记为$A_n$,第$n$项之后各项$a_{n+1},a_{n+2},dots$的最小值记为$B_n$, $d_n=A_n-B_n$.
egin{enumerate}
item[(I)] 若${a_n}$为$2,1,4,3,2,1,4,3cdots$,是一个周期为$4$的数列(即对任意$ninmathbb{N}^ast$, $a_{n+4}=a_n$),写出$d_1,d_2,d_3,d_4$的值;
item[(II)] 设$d$是非负整数,证明: $d_n=-d\, (n=1,2,3,cdots)$的充分必要条件为${a_n}$是公差为$d$的等差数列;
item[(III)] 证明:若$a_1=2,d_n=1\, (n=1,2,3,cdots)$, 则${a_n}$的项只能是$1$或者$2$,且有无穷多项为$1$.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
egin{enumerate}
item[(I)] $d_1=d_2=1,d_3=d_4=3$.
item[(II)] (充分性)因为${a_n}$是公差为$d$的等差数列,且$Dgeq 0$,所以$a_1leq a_2leqcdotsleq a_nleqcdots$.因此$A_n=a_n,B_n=a_{n+1},d_n=a_n-a_{n+1}=-d\, (n=1,2,3,cdots)$.
(必要性)因为$d_n=-dleq 0\, (n=1,2,3,cdots)$,所以$A_n=B_n+d_nleq B_n$.又因为$a_nleq A_n,a_{n+1}geq B_n$,所以$a_nleq a_{n+1}$.于是, $A_n=a_n,B_n=a_{n+1}$,因此$a_{n+1}-a_n=B_n-A_n=-d_n=d$,即${a_n}$是公差为$d$的等差数列.
item[(III)] 因为$a_1=2,d_1=1$,所以$A_1=a_1=2,B_1=A_1-d_1=1$.故对任意$ngeq 1$, $a_ngeq B_1=1$.
假设${a_n}(ngeq 2)$中存在大于$2$的项.设$m$为满足$a_m>2$的最小正整数,则$mgeq 2$,并且对任意$1leq k<m$, $a_kleq 2$.又因为$a_1=2$,所以$A_{m-1}=2$,且$A_m=a_m>2$.于是, $B_m=A_m-d_m>2-1=1,B_{m-1}=min{a_m,B_m}geq 2$.故$d_{m-1}=A_{m-1}-B_{m-1}leq 2-2=0$,与$d_{m-1}=1$矛盾.所以对于任意$ngeq 1$,有$a_nleq 2$,即非负整数列${a_n}$的各项只能为$1$或$2$.
因为对任意$ngeq 1$, $a_nleq 2=a_1$,所以$A_n=2$.故$B_n=A_n-d_n=2-1=1$.
因此对于任意正整数$n$,存在$m$满足$m>n$,且$a_m=1$,即数列${a_n}$有无穷多项为$1$.
end{enumerate}
end{Proof}
egin{Example}
(2014北京)对于数对序列$P:(a_1,b_1),(a_2,b_2),cdots,(a_n,b_n)$,记$T_1(P)=a_1+b_1$, $T_k(P)=b_k+max{T_{k-1}(P),a_1+a_2+cdots+a_k}(2leq kleq n)$,其中$max{T_{k-1}(P),a_1+a_2+cdots+a_k}$表示$T_{k-1}(P)$和$a_1+a_2+cdots+a_k$两个数中最大的数.
egin{enumerate}
item[(I)] 对于数对序列$P(2,5),P(4,1)$,求$T_1(P),T_2(P)$的值;
item[(II)] 记$m$为$a,b,c,d$四个数中最小值,对于由两个数对$(a,b),(c,d)$组成的数对序列$P(a,b),(c,d)$和$P'(c,d),(a,b)$,试分别对$m=a$和$m=d$的两种情况比较$T_2(P)$和$T_2(P')$的大小;
item[(III)] 在由$5$个数对$(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)$组成的所有数对序列中,写出一个数对序列$P$使$T_5(P)$最小,并写出$T_5(P)$的值. (只需写出结论).
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
egin{enumerate}
item[(I)] $T_1(P)=2+5=7,T_2(P)=1+max{T_1(P),2+4}=1+max{7,6}=8$.
item[(II)] 当$m=a$时, $T_1(P)=a+b,T_2(P)=d+max{a+b,a+c}=a+d+max{b,c}$;
$T_1(P')=c+d,T_2(P')=b+max{c+d,c+a}=b+c+max{a,d}=b+c+d$;
因为$a$是$a,b,c,d$中最小的数,所以$a+max{b,c}leq b+c$,从而$T_2(P)leq T_2(P')$;
当$m=d$时, $T_1(P)=a+b,T_2(P)=d+max{a+b,a+c}=a+d+max{b,c}$;
$T_1(P')=c+d,T_2(P')=b+max{c+d,c+a}=b+c+max{a,d}=a+b+c$;
因为$d$是$a,b,c,d$中最小的数,所以$d+max{b,c}leq b+c$,从而$T_2(P)leq T_2(P')$.
综上,这两种情况下都有$T_2(P)leq T_2(P')$.
item[(III)] 数对序列$P: (4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)$的$T_5(P)$值最小;
$T_1(P)=10,T_2(P)=26,T_3(P)=42,T_4(P)=50,T_5(P)=52$.
end{enumerate}
end{Proof}
egin{Example}
(2015北京)已知数列${a_n}$满足: $a_1inmathbb{N}^ast,a_1leq 36$,且
[a_{n+1}=egin{cases}
2a_n, & a_nleq 18 \
2a_n-36, & a_n>18
end{cases}(n=1,2,cdots)]
记集合$M={a_n|nin N^ast}$.
egin{enumerate}
item[(I)] 若$a_1=6$,写出集合$M$的所有元素;
item[(II)] 如集合$M$存在一个元素是$3$的倍数,证明: $M$的所有元素都是$3$的倍数;
item[(III)] 求集合$M$的元素个数的最大值.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
egin{enumerate}
item[(I)] $6,12,24$.
item[(II)] 因为集合$M$存在一个元素是$3$的倍数,所以不妨设$a_k$是$3$的倍数.
由$a_{n+1}=egin{cases}
2a_n, & a_nleq 18 \
2a_n-36, & a_n>18
end{cases}$可归纳证明对任意$ngeq k$, $a_n$是$3$的倍数.
如果$k=1$, 则$M$的所有元素都是$3$的倍数.
如果$k>1$,因为$a_k=2a_{k-1}$,或$a_k=2a_{k-1}-36$,所以$2a_{k-1}$是$3$的倍数,于是$a_{k-1}$是$3$的倍数;类似可得, $a_{k-2},cdots,a_1$都是$3$的倍数.从而对任意$ngeq 1$, $a_n$是$3$的倍数.因此$M$的所有元素都是$3$的倍数.
综上,若集合$M$存在一个元素是$3$的倍数,则$M$的所有元素都是$3$的倍数.
item[(III)] 由$a_1leq 36,a_{n}=egin{cases}
2a_{n-1}, & a_{n-1}leq 18 \
2a_{n-1}-36, & a_{n-1}>18
end{cases}$可归纳证明$a_nleq 36\, (n=2,3,cdots)$.因为$a_1$是正整数, $a_2=egin{cases}
2a_1, & a_1leq 18, \
2a_1-36, & a_1>18,
end{cases}$
所以$a_2$是$2$的倍数.
从而当$ngeq 3$时, $a_n$是$4$的倍数.
如果$a_1$是3的倍数,由(II)知对所有正整数$n$, $a_n$是$3$的倍数.
因此当$ngeq 3$时, $an={12,24,36}$,这时$M$的元素个数不超过$5$.
如果$a_1$不是$3$的倍数,由(II)知对所有正整数$n$, $a_n$不是$3$的倍数.
因此当$ngeq 3$时, $a_nin {4,8,16,20,28,32}$.这时$M$的元素个数不超过$8$.
当$a_1=1$时, $M={1,2,4,8,16,20,28,32}$有8个元素.
综上可知,集合$M$的元素个数的最大值为$8$.
end{enumerate}
end{Proof}
egin{Example}
(2016北京)设数列$A:a_1,a_2,cdots,a_N\,(Ngeq 2)$,如果对小于$n\, (2leq nleq N)$的每个正整数$k$都有$a_k<a_n$,则称$n$是数列$A$的一个“$G$时刻”,记$G(A)$是数列$A$的所有“$G$时刻”组成的集合.
egin{enumerate}
item[(I)] 对数列$A:-2,2,-1,1,3$,写出$G(A)$的所有元素;
item[(II)] 证明:若数列$A$中存在$a_n$使得$a_n>a_1$,则$G(A) eqemptyset$;
item[(III)] 证明:若数列$A$满足$a_n-a_{n-1}leq 1\, (n=2,3,cdots,N)$,则$G(A)$的元素个数不小于$a_N-a_1$.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
egin{enumerate}
item[(I)] $G(A)$的元素为$2$和$5$.
item[(II)] 因为存在$a_n$使得$a_n>a_1$,所以${iinmathbb{N}^ast|2leq ileq N,a_i>a_1} eq emptyset$.
记$m=min{iinmathbb{N}^ast|2leq ileq N,a_i>a_1}$,则$mgeq 2$,且对任意正整数$k< m$, $a_kleq a_1<a_m$.因此$min G(A)$.从而$G(A) eq emptyset$.
item[(III)] 当$a_Nleq a_1$时,结论成立.
以下设$a_N>a_1$.由(II)知$G(A) eqemptyset$.
设$G(A)={n_1,n_2,cdots,n_p},n_1<n_2<cdots<n_p$.记$n_0=1$,则$a_{n_0}<a_{n_1}<a_{n_2}<cdots<a_{n_p}$.
对$i=0,1,cdots,p$,记$G_i=left{kinmathbb{N}^ast|n_i<kleq N,a_k>a_{n_i} ight}$.
如果$G_i eqemptyset$,取$m_i=min G_i$,则对任何$1leq k<m_i,a_kleq a_{n_i}<a_{m_i}$.从而$m_iin G(A)$且$m_i=n_{i+1}$.
又因为$n_p$是$G(A)$中的最大元素,所以$G_p=emptyset$.从而对任意$n_pleq kleq N,a_kleq a_{n_p}$,特别地, $a_Nleq a_{n_p}$.
对$i=0,1,cdots,p-1$, $a_{n_{i+1}-1}leq a_{n_i}$.因此$a_{n_{i+1}}=a_{n_{i+1}-1}+(a_ {n_{i+1}}-a_{n_{i+1}-1})leq a_ {n_i}+1$.所以
[a_N-a_1leq a_{n_p}-a_1=sum_{i=1}^{p}(a_{n_i}-a_{n_{i-1}})leq p.]
因此$G(A)$的元素个数$p$不小于$a_N-a_1$.
extbf{证法二.}猿题库.
end{enumerate}
end{Proof}
egin{Example}
(2017北京)设${a_n}$和${b_n}$是两个等差数列,记$c_n=max{b_1-a_1n,b_2-a_2n,cdots,b_n-a_nn}\, (n=1,2,3,cdots)$,其中$max{x_1,x_2,cdots,x_s}$表示$x_1,x_2,cdots,x_s$这$s$个数中最大的数.
egin{enumerate}
item[(I)] 若$a_n=n,b_n=2n-1$,求$c_1,c_2,c_3$的值,并证明${c_n}$是等差数列;
item[(II)] 证明:或者对任意正数$M$,存在正整数$m$, 当$ngeq m$时, $displaystylefrac{c_n}{n}>M$;或者存在正整数$m$,使得$c_m,c_{m+1},c_ {m+2},cdots$是等差数列.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
egin{enumerate}
item[(I)]
egin{align*}
c_1&=b_1-a_1=1-1=0,\
c_2&=max{b_1-2a_1,b_2-2a_2}=max{1-2 imes 1,3-2 imes 2}=-1,\
c_3&=max{b_1-3a_1,b_2-3a_2,b_3-3a_3}=max{1-3 imes 1,3-3 imes 2,5-3 imes 3}=-2,
end{align*}
当$ngeq 3$时,
[(b_{k+1}-na_{k+1})-(b_k-na_k)=(b_{k+1}-b_k)-n(a_{k+1}-a_k)=2-n<0,]
所以$b_k-na_k$关于$ninmathbb{N}^ast$单调递减.所以$c_n=max{b_1-a_1n,b_2-a_2n,cdots,b_n-a_nn}=b_1-a_1n=1-n$.所以对任意$ngeq 1$, $c_n=1-n$,于是$c_{n+1}-c_n=-1$,所以${c_n}$是等差数列.
item[(II)] 设${a_n}$和${b_n}$的公差分别为$d_1,d_2$,则
[b_k-na_k=b_1+(k-1)d_2-[a_1+(k-1)d_1]n=b_1-a_1n+(d_2-nd_1)(k-1),]
所以
[c_n=egin{cases}
b_1-a_1n+(n-1)(d_2-nd_1), & mbox{当}\, d_2>nd_1\, mbox{时},\
b_1-a_1n, & mbox{当}\, d_2leq nd_1\, mbox{时}.
end{cases}]
egin{enumerate}
item 当$d_1>0$时,取正整数$m>frac{d_2}{d_1}$,则当$ngeq m$时, $nd_1>d_2$,因此$c_n=b_1-a_1n$.此时, $c_m,c_{m+1},c_ {m+2},cdots$是等差数列.
item 当$d_1=0$时,对任意$ngeq 1$, $c_n=b_1-a_1n+(n-1)max{d_2,0}=b_1-a_1+(n-1)(max{d_2,0}-a_1)$.此时, $c_1,c_2,c_3,cdots,c_n,cdots$是等差数列.
item 当$d_1<0$时,当$n>frac{d_2}{d_1}$时,有$nd_1<d_2$,所以
egin{align*}
frac{c_n}{n}=frac{b_1-a_1n+(n-1)(d_2-nd_1)}{n}
=n(-d_1)+d_1-a_1+d_2+frac{b_1-d_2}{n}\
geq n(-d_1)+d_1-a_1+d_2-|b_1-d_2|.
end{align*}
对任意正数$M$,取正整数[
m>max left{ frac{M+left| b_1-d_2
ight|+a_1-d_1-d_2}{-d_1},frac{d_2}{d_1}
ight},
]
故当$ngeq m$时, $displaystylefrac{c_n}{n}>M$.
end{enumerate}
end{enumerate}
end{Proof}
egin{Example}
(2018北京)设$n$为正整数,集合$A={alpha|alpha=(t_1,t_2,cdots,t_n),t_kin{0,1},k=1,2,cdots,n}$.对于集合$A$中的任意元素$alpha= (x_1,x_2,cdots,x_n)$和$eta=(y_1,y_2,cdots,y_n)$,记
[M(alpha,eta)=frac{1}{2}left[(x_1+y_1-|x_1-y_1|)+(x_2+y_2-|x_2-y_2|)
+cdots+(x_n+y_n-|x_n-y_n|)
ight].]
egin{enumerate}
item[(I)] 当$n=3$时,若$alpha= (1,1,0)$和$eta=(0,1,1)$,求$M(alpha,alpha)$
和$M(alpha,eta)$的值;
item[(II)] 当$n=4$时,设$B$是$A$的子集,且满足:对于$B$中的任意元素$alpha,eta$,当$alpha,eta$相同时, $M(alpha,eta)$是奇数;当$alpha,eta$不同时, $M(alpha,eta)$是偶数.求集合$B$中元素个数的最大值;
item[(III)] 给定不小于$2$的$n$,设$B$是$A$的子集,且满足:对于$B$中的任意两个不同的元素$alpha,eta$, $M(alpha,eta)=0$.写出一个集合$B$,使其元素个数最多,并说明理由.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
egin{enumerate}
item[(I)] 因为$alpha=(1,1,0),eta=(0,1,1)$,所以
egin{align*}
M(alpha,alpha)&=frac{1}{2}left[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)
ight]=2,\
M(alpha,eta)&=frac{1}{2}left[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)
+(0+1-|0-1|)
ight]=1.
end{align*}
item[(II)] 设$alpha=(x_1,x_2,x_3,x_4)in B$,则$M(alpha,alpha)=x_1+x_2+x_3+x_4$.由题意知$x_1,x_2,x_3,x_4in{0,1}$,且$M(alpha,eta)$为奇数,所以$x_1,x_2,x_3,x_4$中$1$的个数为$1$或$3$.
所以$Bsubset{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),
(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}$.将上述集合中的元素分成如下四组: $(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),
(0,1,1,1)$.经验证,对于每组中两个元素$alpha,eta$,均有$M(alpha,eta)=1$.
所以每组中的两个元素不可能同时是集合$B$的元素.所以集合$B$中元素的个数不超过$4$.
又集合${(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}$满足条件,所以集合$B$中元素个数的最大值为$4$.
item[(III)] 设$S_k={(x_1,x_2,cdots,x_n)|(x_1,x_2,cdots,x_n)in A,x_k=1,x_1=x_2=cdots=x_{k-1}=0}\,(k=1,2,cdots,n)$, $S_{n+1}={(x_1,x_2,cdots,x_n)|x_1=x_2=cdots=x_n=0}$,则$A=S_1cup S_2cupcdots S_{n+1}$.对于$S_k\, (k=1,2,cdots,n-1)$中的不同元素$alpha,eta$,经验证, $M(alpha,eta)geq 1$.所以$S_k\, (k=1,2,cdots,n-1)$中的两个元素不可能同时是集合$B$的元素.所以$B$中元素的个数不超过$n+1$.
取$e_k=(x_1,x_2,cdots,x_n)in S_k$且$x_{k+1}=cdots=x_n=0\,(k=1,2,cdots,n-1)$.
令$B=(e_1,e_2,cdots,e_{n-1})cup S_ncup S_{n+1}$,则集合$B$的元素个数为$n+1$,且满足条件.故$B$是一个满足条件且元素个数最多的集合.
end{enumerate}
end{Proof}
egin{Example}
(2008人大附中10月理科月考)用$|X|$表示有限集$X$的元素个数,对由正整数组成的集合$A,B$,定义
[A+B={x|x=a+b,ain A,bin B}.]
egin{enumerate}
item[(I)] 设集合$A={1,2,3,4,5,6,7,8},B={4,8,16,32}$,求$|A+B|$;
item[(II)] 若$|A|=8,|B|=4$,求$|A+B|$的最小值;
item[(III)] 若$|A|=8,|B|=4$,且$A$满足当$a,b,c,din A,a+b=c+d$时, ${a,b}={c,d}$,求$|A+B|$的最小值.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
end{Proof}
egin{Example}
(2013湖北)设$n$是正整数, $r$为正有理数.
egin{enumerate}
item[(I)] 求函数$f(x)=(1+x)^{r+1}-(r+1)x-1 \,(x>-1)$的最小值;
item[(II)] 证明:
[frac{n^{r+1}-(n-1)^{r+1}}{r+1}<n^r<frac{(n+1)^{r+1}-n^{r+1}}{r+1};]
item[(III)] 设$xinmathbb{R}$,记$lceil 2 ceil =2,lceil pi ceil =4,lceil -frac{3}{2} ceil =-1$.令$S=sqrt[3]{81}+sqrt[3]{82}+sqrt[3]{83}+cdots+sqrt[3]{125}$,求$lceil S ceil$的值.
(参考数据: $80^{4/3}approx 344.7,81^{4/3}approx 350.5,124^{4/3}approx 618.3,126^{4/3}approx 631.7$)
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
end{Proof}
(2014北京)对于数对序列$P:(a_1,b_1),(a_2,b_2),cdots,(a_n,b_n)$,记$T_1(P)=a_1+b_1$, $T_k(P)=b_k+max{T_{k-1}(P),a_1+a_2+cdots+a_k}(2leq kleq n)$,其中$max{T_{k-1}(P),a_1+a_2+cdots+a_k}$表示$T_{k-1}(P)$和$a_1+a_2+cdots+a_k$两个数中最大的数.
egin{enumerate}
item[(1)] 对于数对序列$P(2,5),P(4,1)$,求$T_1(P),T_2(P)$的值;
item[(2)] 记$m$为$a,b,c,d$四个数中最小值,对于由两个数对$(a,b),(c,d)$组成的数对序列$P(a,b),(c,d)$和$P(a,c),(b,d)$,试分别对$m=a$和$m=d$的两种情况比较$T_2(P)$和$T_2(P')$的大小;
item[(3)] 在由$5$个数对$(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)$组成的所有数对序列中,写出一个数对序列$P$使$T_5(P)$最小,并写出$T_5(P)$的值. (只需写出结论).
end{enumerate}
egin{Example}
(2008北京)
end{Example}
egin{Proof}
end{Proof}
egin{Example}
(2008北京)
end{Example}
egin{Proof}
end{Proof}
egin{Example}
(2008北京)
end{Example}
egin{Proof}
end{Proof}
egin{Example}
(2008人大附中10月理科月考)用$|X|$表示有限集$X$的元素个数,对由正整数组成的集合$A,B$,定义
[A+B={x|x=a+b,ain A,bin B}.]
egin{enumerate}
item[(I)] 设集合$A={1,2,3,4,5,6,7,8},B={4,8,16,32}$,求$|A+B|$;
item[(II)] 若$|A|=8,|B|=4$,求$|A+B|$的最小值;
item[(III)] 若$|A|=8,|B|=4$,且$A$满足当$a,b,c,din A,a+b=c+d$时, ${a,b}={c,d}$,求$|A+B|$的最小值.
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
end{Proof}
egin{Example}
已知抛物线$displaystyle C:y=frac{1}{2}x^2$与直线$l:y=kx-1$没有公共点,设点$P$为直线$l$上的动点,过$P$作抛物线$C$的两条切线, $A,B$为切点.
egin{enumerate}
item[(I)] 证明:直线$AB$恒过定点$Q$;
item[(II)] 若点$P$与(I)中的定点$Q$的连线交抛物线$C$于$M,N$两点,证明:
[frac{|PM|}{|PN|}=frac{|QM|}{|QN|}.]
end{enumerate}
end{Example}
egin{Proof}
end{Proof}
egin{Example}
过点$P(a,-2)$作抛物线$C:x^2=4y$的两条切线,切点分别为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$.
egin{enumerate}
item[(I)] 证明: $x_1x_2+y_1y_2$为定值;
item[(II)] 记$ riangle PAB$的外接圆的圆心为点$M$,点$F$是抛物线$C$的焦点, 对任意实数$a$,试判断以$PM$为直径的圆是否恒过点$F$?并说明理由.
end{enumerate}
end{Example}
%http://www.1010jiajiao.com/gzsx/shiti_id_d78bda373ee11dbb6218e37b79ec48a5
egin{Proof}
end{Proof}