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  • 答疑问题

    求[lim _{x ightarrow 0} frac{e^{(1+x)^{1/x}}-(1+x)^{e / x}}{x^{2}}]

    由泰勒公式可知
    egin{align*}
    (1+x)^{1 / x} &=exp left{frac{ln (1+x)}{x} ight}=exp left{frac{x-frac{x^{2}}{2}+frac{x^{3}}{3}+oleft(x^{4} ight)}{x} ight} \ &=e cdot exp left{-frac{x}{2}+frac{x^{2}}{3}+oleft(x^{3} ight) ight}\
    &=eleft[1+left(-frac{x}{2}+frac{x^{2}}{3}+oleft(x^{3} ight) ight)+frac{left(-frac{x}{2}+frac{x^{2}}{3}+oleft(x^{3} ight) ight)^{2}}{2}+oleft(x^{3} ight) ight] \
    &=e-frac{e}{2} x+frac{11 e}{24} x^{2}+oleft(x^{3} ight).
    end{align*}
    于是
    [e^{(1+x)^{1/{x}}}=e^{e}-frac{1}{2} e^{e+1} x+frac{1}{24} e^{e+1}(3 e+11) x^{2}+oleft(x^{2} ight).]
    类似地有
    [(1+x)^{e / x}=e^{e}-frac{1}{2} e^{e+1} x+frac{1}{24} e^{e+1}(3 e+8) x^{2}+oleft(x^{2} ight).]
    于是所求极限为
    [lim _{x ightarrow 0} frac{e^{(1+x)^{l x}}-(1+x)^{e / x}}{x^{2}}=frac{1}{8} e^{e+1}.]

    若$lim_{n oinfty}a_n=b>0$,判断$sum_ {n=1}^{infty}left(frac{b}{a_n} ight)^n$的敛散性.

    取$a_n=bsqrt[n]{n^2} o b$,则$sum_ {n=1}^{infty}left(frac{b}{a_n} ight)^n=sum_ {n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$收敛.


    取$a_n=bsqrt[n]{n} o b$,则$sum_ {n=1}^{infty}left(frac{b}{a_n} ight)^n=sum_ {n=1}^{infty}frac{1}{n}$发散.

    求极限$lim_{n oinfty}n^2left(arctanfrac{a}{n}-arctan{a}{n+1} ight)$.

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/10696501.html
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