国外数学奥林匹克试题

1.波兰数学奥林匹克

2.奥地利数学奥林匹克

3.德国数学奥林匹克

4.法国自招

5.美国数学月刊问题

6.中国最难的理科高考题有哪些？

7.日本高考试题 东京大学高考

8.京都大学数学系修士考试

9.东京大学数学系修士考试或者这里

10.数分笔记——非常初等的Fejér-Jackson不等式

11.含参带绝对值的函数题型的解法

12.IMC

egin{example}
(三元均值不等式)设$a,b,cin mathbb{R}^+$,则
$$
frac{3}{frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}}le sqrt[3]{abc}le frac{a+b+c}{3}le sqrt{frac{a^2+b^2+c^2}{3}},
$$
end{example}
egin{solution}
先证明:
$$
a^3+b^3+c^3ge 3abc,quad a,b,cin mathbb{R}^+.
$$
事实上,
egin{align*}
a^3+b^3+c^3-3abc &=left( a+b ight) ^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc
\
&=left( a+b+c ight) left[ left( a+b ight) ^2-left( a+b ight) c+c^2 ight] -3ableft( a+b+c ight)
\
&=left( a+b+c ight) left[ left( a+b ight) ^2-left( a+b ight) c+c^2-3ab ight]
\
&=left( a+b+c ight) left( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca ight)
\
&=left( a+b+c ight) left[ frac{1}{2}left( a-b ight) ^2+frac{1}{2}left( b-c ight) ^2+frac{1}{2}left( c-a ight) ^2 ight] ge 0.
end{align*}
令$a^3 o a,b^3 o b,c^3 o c$即可.
end{solution}