2018 年中国科学院大学生数学夏令营
分析与代数试卷
整理编辑: Xionger 2018年7月11日
满分为100分，考试时间为120分钟，答案必须写在答题纸上
1. (15分)设$Omega_n$是含有$n$个元素的集合, ${A_1,ldots,A_r}$称为$Omega_n$的一个覆盖,如果$cup_{i=1}^rA_i=Omega_n,A_isubseteq Omega_n$非空, $A_i
eq A_j,r=1,2,ldots$记$C_n$为$Omega_n$的不同覆盖的个数,例如$C_1=1,C_2=5$.求$C_3$.
2. (10分)通过研究极限$displaystylelim_{n oinfty}nsin (2pi en!)$证明$e$是无理数.
3. (15分)设$p$为从区间$left[0,frac{pi}{2}
ight]$到$[0,1]$的单调增连续可微函数$p( heta)$全体构成的集合,且$p(0)=0,pleft(frac{pi} {2}
ight)=1$.定义
[Ileft( pleft( heta
ight)
ight) =left( frac{d}{d heta}sqrt{pleft( heta
ight)}
ight) ^2+left( frac{d}{d heta}sqrt{1-pleft( heta
ight)}
ight) ^2.]
(a) 求解极值问题$displaystyleinf_{p(cdot)in P}int_{0}^{pi/2}I(p( heta))d heta$.
(b) 若$Ileft( pleft( heta ight) ight)$与$ heta$无关,求$pleft( heta ight)$.
4. (15分)函数$f:mathbb{R} omathbb{R}$称为超越函数,如果不存在有限多个不全为零的数$a_{mn}$使得$sum_{mn}a_{mn}x^{m}(f(x))^n=0,forall xinmathbb{R}$.请问以下函数是否是超越函数(说明理由)? (a)多项式, (b) $sin x$.
5. (15分)设$A,B,Cin M_{n imes n}$均为$n imes n$复矩阵, $A^ast$表示$A$的共轭转置.
(a) 讨论等式$AB=AC$与$A^ast AB=A^ast AC$的关系.
(b) 讨论等式$A^2B=A$与$B^2 A=B$的关系.
(c) 讨论等式$A^2B=BA^2$与$AB=BA$的关系,其中$A$为正定矩阵.
6. (15分)设$Ain M_{n imes n}$为任意$n imes n$复矩阵,满足$AA^ast=A^ast A$.是否一定存在多项式$f$使得$A^ast=f(A)$?说明理由.
7. (15分)设$A=(a_{ij}),B=(b_{ij})in M_{n imes n}$为$n imes n$正定矩阵,定义$Acirc B=(a_{ij}b_{ij})$.判断以下论断的对错,并给出理由.
(a) $Acirc B$为正定矩阵.
(b) $Acirc A^{-1}geq I$.
(c) $A^{1/2}circ B^{1/2}leq I$,此处正定矩阵$A,B$对角线上的元素均为$1$.