2014-2015 Petrozavodsk Winter Training Camp, Contest.58 (Makoto rng_58 Soejima contest)
Problem A. Manhattan
solved by RDC 32 min 1Y
题意 给一网格图，找出欧几里得距离为 d 的两点，最大化最短路。
第一回合
三分搜索，第一个点的坐标 ((x,0)(0leq x<1))，确定第一个点后，对第二个点的横坐标或者纵坐标进行枚举计算答案。
第二回合
设最优解两点之间，横坐标差绝对值为 (dx) 纵坐标差绝对值为 (dy)，分类讨论。
- 当 (dx) 为整数时，枚举 (dx)，有 (dy=sqrt{d^2-dx^2})。
- 当 (dy) 为整数时，枚举 (dy)。
- 否则，猜测答案为 (sqrt{2}d)，两点斜率绝对值为 1。（距离为 (d) 的两点曼哈顿距离最大值为 (sqrt{2}d)）
第三回合
- 注意到，若 (min(dx,dy)geq 1) 或者 (dx,dy) 皆不为整数，两点间最短路即曼哈顿距离。
- 当两点间最短距离不是曼哈顿距离时，(0 leq min(dx,dy)<1)，且 (dx,dy) 中存在正整数。
Problem C. Clique Coloring
solved by RDC 112 min 1Y
题意 求极小的 m，使得可以选出大小分别为 (a_1,a_2,...,a_n) 的子集，使得两两交大小小于等于 1.
做法
- 注意到任意两个集合的交，小于等于 1.
- 元素按，是否归属于 (1,2,...,n) 号集合，可以划分成 (2^n) 个等价类，编号分别为 (0)~(2^n-1)
- DFS 枚举编号 (bitcount()) 大于 1 的等价类中是否有元素，剪掉一些 invalid 的枚举（若 (bitcount(x&y) geq 2)，那么第 x 个等价类，第 y 个等价类，不可同时有元素）。
- 合法的枚举方案很少 ((<1e5))，对每种方案统计答案即可。
Problem B. Dictionary
upsolved by RDC,sdcgvhgj,F0_0H
题意 给 n 个串，字符集为小写字母，替换 '?'，使字典序单增。
做法1 考虑 DP
- (f[l][r][p][c]) 表示考虑第 l 个串到第 r 个串的 p ~ 20 位， 使得它们字典序单增，且 (s[x] [p]=c(l leq x leq r)) 的方案数。
- (g[l][r][p][c]) 表示考虑第 l 个串到第 r 个串的 p ~ 20 位， 使得它们字典序单增，且 (s[l] [p]=c) 的方案数。
- (g[21][i][i][' ']=f[21][i][i][' ']=1(1leq ileq n))
- (f[l][r][p][c]=sum_{ch}g[l][r][p+1][c]*[condition])，其中 ([condition]) 表示 (s[x][p](lleq xleq r)) 能否全为字符 (c).
- (g[l][r][p][c]=sum_{ch>c}sum_{mid}f[l][mid][p][c]*((mid+1<=r)?g[mid+1][r][p][ch]:1))
- 对 (g[l][r][p][]) 做后缀和，优化。
code
做法2 对上述状态转移的简化
- (f[l][r][p][c])表示考虑第 l 个串到第 r 个串的 p ~ 20 位， 使得它们字典序单增，且 (s[x] [p]leq c(l leq x leq r)) 的方案数。
- (f[l][r][p][c]=sum_{ch<c}sum_{mid}f[l][mid][p][ch]*f[mid+1][r][p+1]['z']*[condition])，其中([condition])表示(s[x][p](mid+1leq xleq r))能否全为字符(c+1)
code
Problem D. Dense Amidakuji
upsolved by F0_0H
题意 排骨龙沿着竹竿往下爬，输出会从哪个竹竿落下。
做法
考虑两个如下事实：
- 对于每条横边，定会被经过两次，一次从左往右，一次从右往左
- 每删除一条横边，相当于交换该横边左右两次经过的状态
所以只需要考虑每条横边原始被经过的标号，交换一下即可（从上到下考虑）
code
Problem G. Snake
upsolved by sdcgvhgj
题意 给一条折线段(P_1P_2,.....P_n)，问能否穿过一个洞。
口胡 by rdc
- 能穿过洞，等价于折线段在任意位置都能被直线划分成两段。
- 若在位置 (Q) 能被划分成两段，那么必存在 (1leq i leq n)，使得 (QP_i) 能把折线段划分成两段。
- 枚举点 (P_i)，更新点集 ({Q|P_iQ 能划分折线段})。
- 有解，等价于，(cup_{i=1}^{n} {Q|P_iQ 能划分折线段} = 折线段上点组成点集)。
Problem J. Hyperrectangle
题意 输入 (d) 维长方体，求 (x_1+x_2+..+x_dleq s) 体积。