矩阵那些事

什么是矩乘

一些好题

这里没什么板题，都是些比较妙的矩乘，逐步深入。

这是一个蒟蒻的刷题历程，大佬轻喷。

这里面的题目都没放代码，因为矩阵的代码一定要自己写一遍，每个人的都不一样的。

[NOI2012]随机数生成器

题目大意

给你很多数字：( ext{m, a, c, x0 n, g}) 和一个递推式：

[x_{n + 1} = (a imes x_n + c) \% m ]

要你求 (x_n \% g) 的数值。

数据范围：(n, m, a, c, x0 le 10^{18}, n, m ge 1, a, c, x0 ge 0)

题解

考虑暴力是很好想的，直接递推就行了。

但是显然过不了，这样的柿子就很矩乘好不。

可以令我们维护的矩阵为 :

(left[ egin{matrix} x_i \ c end{matrix} ight] imes A = left[ egin{matrix} x_{i + 1} \ c end{matrix} ight])

那么 (A) 也很好求，就是 ： (left[ egin{matrix} a & 1 \ 0 & 1 end{matrix} ight])

跑下矩阵快速幂就行了。

[USACO07NOV]Cow Relays G

题目大意

给定一张 (T) 条边的无向连通图，求从 (S) 到 (E) 经过 (N) 条边的最短路长度。

数据范围：(1 le N le 10^6, 1 le T le 100, 1 le u, v, w le 1000)

题解

还是先考虑暴力，我们可以对 "经过 (1 le i le N) 条边的最短路长度（全源"

那么这样会炸空间，我们考虑可以把第一位压掉，但是这样子就无法记录前面的，所以每次只能往后转移一次，也就是每次把初始的所有边都跑一遍，扩展一圈，这样跑 (N) 次就是答案了.

但是这样会炸空间(屁事好多),所有考虑需要这样实现( (c) 的长度是 (a) 的长度加 (b) 的长度,长度是指我们枚举的 (i) ):

[c_{i, j} = min(c_{i, j}, a_{i, k} + b_{k, j}); ]

这个每次转移是互不影响的,所以可以矩乘,然后就是一样的操作了.

这还是不能过!!!因为你 (u,v) 是可以达到 (1000) 的,所以你还要离散化.

[TJOI2017]可乐

题目大意

(0) 时刻，你从 (1) 号节点出发，问你 (t) 时刻他行走的方案数，每次他可以停在原地，移动到相邻的节点，自爆。

数据范围： (n,m le 100, t le 10 ^ 9)

题解

考虑先枚举时间，每次可以简单的 (dp) 一下。

那么我们肯定不可以留下一个 (t) 的复杂度，但是你看 (n) 的数据范围，这一看就很矩乘。

那就矩乘呗，和上个题一样，不过唯一要注意的是自爆操作，这个操作只要把每个点向 (0) 连一条边就行了，(0) 没有任何出度。

[NOI2013]矩阵游戏

题目大意

给你 (a, b, c, d, n, m)

要你求满足以下递推式的 (f_{n,m}) 是多少。

[f_{1,1} = 1 ]

[f_{i, j} = a imes f_{i, j - 1} + b (j e 1) ]

[f_{i, 1} = c imes f_{i - 1, m} + d (i e 1) ]

数据范围： (1 le n, m le 10^{1000000}, 1 le a, b, c, d le 10^9)

题解

(n, m) 这么大，而且这个矩阵这么具有矩阵性，那就矩乘了呗。。

我们把 (2) 种转移分开考虑：

第一种：可以以 (left[ egin{matrix} f_{i,j} \ b end{matrix} ight]) 为初始矩阵， (left[ egin{matrix} a & 1 \ 0 & 1 end{matrix} ight]) 去转移。

第二种：可以以 (left[ egin{matrix} f_{i,1} \ d end{matrix} ight]) 为初始矩阵， (left[ egin{matrix} c & 1 \ 0 & 1 end{matrix} ight]) 去转移。

然后就很尴尬了，因为 (2) 种转移的初始矩阵不同。

那么在 ( ext{[NOI2012]}) 随机数生成器中，我们是用 (left[ egin{matrix} x_i \ c end{matrix} ight]) 作为初始矩阵，而 (left[ egin{matrix} a & 1 \ 0 & 1 end{matrix} ight]) 是我们转移的矩阵。

但是这个你也可以变一变。可以变成用 (left[ egin{matrix} x_i \ 1 end{matrix} ight]) 作为初始矩阵，而 (left[ egin{matrix} a & 1 \ c & 1 end{matrix} ight]) 是我们转移的矩阵。

这题也是一样，可以变成这样：

第一种：可以以 (left[ egin{matrix} f_{i,j} \ 1 end{matrix} ight]) 为初始矩阵， (A:left[ egin{matrix} a & 1 \ b & 1 end{matrix} ight]) 去转移。

第二种：可以以 (left[ egin{matrix} f_{i,1} \ 1 end{matrix} ight]) 为初始矩阵， (B:left[ egin{matrix} c & 1 \ d & 1 end{matrix} ight]) 去转移。

这也初始矩阵就相同了，接下来就是 (A) 用 (n) 列，每列用了 (m - 1) 次，B一共用了 (n - 1) 次。

但是不可以直接那么做，需要：

A = qpow(A, m - 1), B = qpow(A * B, n - 1) * A;
Ans = Ans * B;

因为矩阵满足结合律，但是不满足交换律。

[HNOI2011]数学作业

题目大意

定义一个函数 (G(x)) 为 (1 o n) 的所有数首尾相接。

例如：(G(10) = 12345678910)

求 (G(n)) 在膜 (m) 意义下的值。

数据范围：(1 le n le 10^{18}, 1 le m le 10^9)

题解

假设 (f_i) 为 (G(i)) 在膜 (p) 的值。

那么可以找出初始矩阵 (left[ egin{matrix} f_i \ n \ 1 end{matrix} ight]) 用 (left[ egin{matrix} 10^k & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 0 end{matrix} ight]) 取转移即可。

不过这个 (k) 是当前的位数。

显然上面的柿子不可以直接转移，而且 (k) 的值域是 (18) ，那么我们考虑对于每个 (k) 取矩阵快速幂就行了。

for(A[0] = i = 1; i <= 18; ++ i) A[i] = A[i - 1] * 10;
for (i = 1; ; ++i) {
	e.a[0][0] = A[i] % p;
	tmp = min(n, A[i] - 1) - A[i - 1] + 1;
	ans = ans * qpow(e, tmp);
	if (A[i] - 1 >= n) break;
}