欠拟合、过拟合
用线性回归拟合曲线，或者用逻辑回归确定分类边界时，选择的曲线有多种。
以分类问题为例，给定如下样本：
所取的边界，可以是这样（当然并不止这些）：
不同曲线，对于样本的表达能力，各不相同，上图的几根曲线中：
曲线1，使用一阶曲线，即直线模型，过于简单，出现大量的错误分类，此时的误差较大，模型欠拟合。
曲线2，使用高阶曲线，几乎是完美的完成拟合任务，但如此严格的模型，当新的样本与训练样本稍有不同，极有可能出现误判，此时模型过拟合。
而曲线3，一条相对平滑的曲线，基本能完成拟合任务，同时对于个别噪点也没那么敏感。是一个较为理想的模型。
如何得到曲线3 ？
高阶项的引入，可以构建更为复杂的模型。但从曲线2的形态来看，显然高阶项的影响过大了，需想办法做削减。
假设曲线2的方程为：
( h_ heta(x) = heta^{T}x = heta_0 + heta_1x + heta_2x^2 + heta_3x^3 +...+ heta_nx^n )
如果要减弱高阶项 (x^n) 的影响，可以通过减小 ( heta_n) 的值做到。
即是在求取 ( heta) 矩阵时，同时要使矩阵内的元素值，尽量的小。
而 ( heta) 是通过最小化误差函数计算出来，故而，对J函数做改造——正则化。
正则化误差函数
在原有的误差函数的基础上，增加一个正则项，如下：
( J = J + frac{lambda}{2m}sum_{j=1}^{n} heta_j^2 )
该正则项，是所有 ( heta) 参数的平方和。(lambda) 是正则化参数，可以使用不同的 ( heta) 值训练模型，对比最后的误差来确定该值。
加上正则项后，求误差函数最小值时，要能得到最优解，不仅要使样本的误差要最小，同时，( heta) 值也要最小才行。
这样就达到了上一节的要求了。
而相对应的梯度，通过求导可得到：
(
grad_0 = grad_0, (j = 0)
)
(
grad_j = grad_j+frac{lambda}{m} heta_j, (j > 0)
)
注意：
正则项有一点需要注意，该项中并没有将 ( heta_0) 计入。
因为 ( heta_0) 这一项的特征为恒为1((x_0 = 1))，即为0次方。它只会影响曲线的位置高低，对于模型的曲折程度没有影响，故而不需要做正则化处理。
是否只能过通正则化解决过拟合现象?
答案：非也。
首先需要说明的一点，过拟合的出现的根本原因，是模型中较多的变量，却没有足够多的训练样本，来约束这些变量。
也就是，当训练样本逐渐增多的时候，那么曲线2也会慢慢的往曲线3变化，但要拟合到接近曲线2的状态，需要的样本量将是非常的庞大，而最终训练时的运算量也会很庞大，不是很必要。
正则化的误差函数、及其偏导数实现
只列关键部分代码
1 线性回归
h = X*theta;
theta_tmp = theta(2:length(theta),1);
J = 1/(2*m)*(h-y)'*(h-y) + lambda/(2*m) * sum(theta_tmp.^2);
grad = 1/m * x' * (h- y) + (lambda/m)*[0;theta_tmp];
2 逻辑回归
h = sigmoid(X*theta);
theta_tmp = theta(2:length(theta),1);
J = 1/m * sum(-y.*log(h) - (1-y).*log(1-h)) + lambda/(2*m) * sum(theta_tmp.^2);
grad = 1/m .* X' * (h-y) + (lambda/m)*[0;theta_tmp];