【数学】NOIP数论内容整理

NOIP数论内容整理

注：特别感谢sdsy的zxy神仙以及lcez的tsr筮安帮助审稿

一、整除：

对于(a,b~in~Z)，若(exists~k~in~Z),(s.t.~b~=~k~ imes~a)，则说(a)整除(b)，记做(a~|~b)

二、带余除法：

(~forall~a,b~in~z)存在且仅存在唯一的(q,r~in~Z^*)，(s.t.~b~=~q~ imes~a+r)，其中(r~in~[0,a))。记做(r~=~b~Mod~a)。

三、公约数

设(a,b~in~Z)，若(~exists~k,x,y~in~Z^*)，(s.t.~a~=k~ imes~x,b~=~k~ imes~y)，则说(k)是(a,b)的公约数。公倍数同理。

四、(gcd)与(lcm)

记(a,b)的最大公约数为(gcd(a,b))，最小公倍数为(lcm(a,b))

五、最大公约数与最小公倍数乘积性质定理

性质：(a~ imes~b=gcd(a,b)~ imes~lcm(a,b))

六：最大公约数的求取：(以下不妨设(b~leq~a))

更相减损术：(gcd(a,b)~=~gcd(b,a-b))

欧几里得算法：(gcd(a,b)~=~gcd(b,a~Mod~b))

其中，更相减损术的复杂度是(O(n))，欧几里得算法的复杂度是(O(logn))。其中(n~=~max(a,b))

七：更相减损术的优化

引理：(forall~m~ eq~0,~a,b~in~Z)，有(m~ imes~gcd(a,b)=gcd(ma,mb))

当(a,b)是两个偶数时，显然(gcd(a,b))有一因数(2)。于是(gcd(a,b)~=~2~ imes~gcd(frac{a}{2},frac{b}{2}))

当(a,b)一奇一偶的时候，不妨设(a)是偶数。显然(gcd(a,b))不含因子(2)。于是有(gcd(a,b)=gcd(frac{a}{2},b))

当(a,b)同为奇数时，直接应用更相减损术。(gcd(a,b)=gcd(b,a-b))。

考虑两个奇数相减答案显然是偶数。于是一次更相减损术显然对应一个数除以2的操作。即更相减损的次数与除以二的操作次数同阶。考虑一个数最多被除(log)次。于是该算法的复杂度为(O(logn))。

该算法常用在对两个高精度数求(gcd)，因为两个高精度数做除法的复杂度难以承受，从而应用该算法。

八、例题：

给定一个序列，要求支持区间加法。多次查询区间内所有数字的(gcd)。(n,m,a_i~leq~10^5)

Solution:

因为区间加法无法维护(gcd)，所以显然不能暴力线段树。考虑对原序列做差分。由更相减损定理，显然成立(gcd(a,b,c)~=~gcd(a,b-a,c-b))。于是差分后区间加法改为单点修改操作。于是一次操作的复杂度为(O(log^2n))。总时间复杂度为(Oleft(mlog^2n ight))，可以通过本题。

九、扩展欧几里得算法

裴蜀定理：关于(x,y)的方程(ax+by=c)有解当且仅当(gcd(a,b)|c)。

求关于(x,y)的方程(ax+by=c)的一组整数解。

不妨设(c=gcd(a,b))。否则左侧乘一常数(k)，不失一般性

根据欧几里得算法，有

[gcd(a,b)=gcd(b,a~Mod~b) ]

于是有

[ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a~Mod~b)=bx_0+(a~Mod~b)y_0 ]

于是有

[egin{align} ax+by & = bx_0+(a-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor~ imes~b)y_0\ & = ay_0+b(x_0-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor~y_0) \ end{align} ]

根据对应系数相等，显然有(x=y_0,y=x_0-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor~y_0)。考虑他的一组特解：当(b=0)时，显然(x=1,y=0)成立。

求上述方程的所有解

假设求出的该方程的一组特解(x=x_0,y=y_0)，则该方程的所有解为(x=x_0+frac{k~ imes~b}{gcd(a,b)},y=y_0-frac{k~ imes~a}{gcd(a,b)})。

十、素数：

有且仅有(1)和本身两个因子的数是素数

十一、埃拉托色尼筛法：

对每个数只筛掉它的倍数。

int pcnt;
int prime[maxn];
bool is_not_prime[maxn];

void Get_Prime(int x) {
	is_not_prime[1]=true;
	for(int i=1;i<=x;++i) if(!is_not_prime[i]) {
		prime[++pcnt]=i;
		for(int j=i*i;j<=x;j+=i;) is_not_prime[j]=true;
	}
}

十二：欧拉筛法

对每个数只被他的最小素因子筛掉

int pcnt;
int prime[maxn];
bool is_not_prime[maxn];

void Get_Prime(int x) {
	is_not_prime[1]=true;
	for(int i=2;i<=x;++i) {
		if(!is_not_prime[i]) prime[++pcnt];
		for(int j=1;j<=pcnt;++j) {
			if(i*prime[j] > x) break;
			is_not_prime[i*prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}
}

十三：在(O(nlogn))时间内筛除(n)以内所有数的素因子

对于每个数记录自己的最小素因子。对于第每个数，迭代将每个数除以自己的最小素因子。

int pcnt;
int prime[maxn],pre[maxn];
bool is_not_prime[maxn];

void Get_Prime(int x) {
	is_not_prime[1]=true;
	for(int i=2;i<=x;++i) {
		if(!is_not_prime[i]) prime[++pcnt],pre[i]=pcnt;
		for(rg int j=1;j<=pcnt;++j) {
			if(i*prime[j] > x) break;
			is_not_prime[i*prime[j]]=true;
			pre[i*prime[j]]=j;
			if(!(i%prime[j])) break;
		}
	}
}

void ans(int x) {
	for(int i=1;i<=x;++i) {
		printf("%d:",i);
		int di=i;
		while(di != 1) printf("%d",prime[pre[di]]),di/=prime[pre[di]];
		putchar('
');
	}
}

十四、唯一分解定理：

(forall~x~in~Z^*)，存在且仅存在一个形如(x=p_1^{c_1}~p_2^{c_2}~...~p_k^{c_k})的等式。其中满足(p_i ~<~p_{i+1},p_i)为质数，(c_i~in~Z)

则对于(a,b)的(gcd,lcm)，其唯一分解式对应位置的指数取(min,max)即为对应的(gcd,lcm)的唯一分解式

十五、欧拉phi函数：

定义：(phi(n))为([1,n))中与(n)互质的数的个数

(phi(n)~=~n~(1-frac{1}{p_1})(1-frac{1}{p_2})...(1-frac{1}{p_k}))

其中(p_i)为(n)的唯一分解式对应底数。

证明：不妨设(n)只有(p,q)两个因数。否则做数学归纳

则与(n)互质的数的个数为(n)减去(p)的倍数和(q)的倍数。根据容斥原理，应加回((pq))的倍数。即

[egin{align} phi(n) & = ~n-frac{n}{p}-frac{n}{q}+frac{n}{pq}\ & = ~nleft(1-frac{1}{p}-frac{1}{q}-frac{1}{pq} ight)\ & = ~nleft(1-frac{1}{p} ight) left(1-frac{1}{q} ight) end{align} ]

对于(n)有更多因数的情况，可以依据唯一分解定理做数学归纳。证毕。

求单个数字的(phi)函数：

暴力枚举质因数。复杂度(O(sqrt{n}))

埃拉托色尼筛法：

对每个质数，修改他的倍数的(phi)函数值

int pcnt;
int prime[maxn],phi[maxn];
bool is_not_prime[maxn];

void euler(int x) {
	for(int i=1;i<=x;++i) phi[i]=i;
	for(int i=2;i<=x;++i) if(!is_not_prime[i]) {
		prime[++pcnt]=i;phi[i]=i-1;
		for(rg int j=i*i;j<=x;j+=i) {
			is_not_prime[j]=true;
			phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
		}
	}
}

欧拉筛：

对每个数，只被他的最小质因子筛掉。

考虑通过一个质因子求出他的欧拉函数值。

引理：(forall x)为质数，显然(phi(x)=x-1)。

定理一：(forall~x~in~Z^*,p|x)，若(frac{x}{p})与(p)不互质，则(phi(x)=phi(frac{x}{p})~ imes~p)

证明：

不妨设 (x) 有且仅有 (p,q) 两个质因子，否则对(q)做数学归纳，不失一般性

则 (q~=~frac{x}{p})

于是由容斥原理有

[phi(x)~=~x~-~frac{x}{p}~-~frac{x}{q}~+~frac{x}{pq} ]

[phi(frac{x}{p})~=~frac{x}{p}~-frac{x}{p^2}~-~frac{x}{pq}+~frac{x}{p^2q} ]

上式除以下式，得

[frac{phi(x)}{phifrac{x}{p}}=p ]

移项整理后，原式得证。

证毕。

定理二：(forall~x~in~Z^*,p|x)，若(frac{x}{p})与(p)互质，则(phi(x)=phi(frac{x}{p})~ imes~(p-1))

证明：

易证(phi)函数为积性函数。因为(frac{x}{p})与(p)互质，于是(phi(x)=phi(frac{x}{p})~ imes~phi(p))

又因为(p)是一个质数，于是根据引理，(phi(p)=p-1)。

原式得证。

证毕。

于是对于每个数，若他是质数，则应用引理，否则在筛时，若最小质因子与他互质，则应用定理二，否则应用定理一。

int pcnt;
int prime[maxn],phi[maxn];
bool is_not_prime[maxn];

void euler(int x) {
	phi[1]=1;
	is_not_prime[1]=true;
	for(int i=1;i<=x;++i) {
		if(!is_not_prime[i]) prime[++pcnt]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=pcnt;++j) {
			if(i*prime[j] > x) break;
			is_not_prime[i * prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j])) {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}

十六、模方程：

定义：(forall a,b ~in~Z)，若(a~Mod~m~=~b~Mod~m) 则称作(a,b)在模(m)域下同余。记做(a~equiv~b~(Mod~m))。

同余式两边支持同时加、减、乘同一个数字，但不支持除法。

十七、模逆元：

(forall~a~in~Z)，若(exists~x~in~Z,s.t.~ax~equiv~1~(Mod~m))则称(x)是(a)在模(m)域下的逆元。在模(m)域下，任何一个整数除以(a)完全等价于乘(x)。

一般而言，(m)为质数是(a)存在逆元的充分条件

十八、逆元的求法

单个数求逆元

解方程(ax~equiv~1~(Mod~m))，发现等价于(ax+km=1)。直接使用(exgcd)求得答案即可。

线性筛逆元：

记(x)的逆元为(x^{-1})，数组表示为(inv_x)

则有线性递推式：(inv_i~=~(-leftlfloorfrac{m}{i} ight floor~ imes~inv_{m~Mod~i}+m)~Mod~m)

证明：

对于所有的(i)，写出他的带余除法表达式：

[m~=~ki~+~r,r~in~[0,i) ]

在(Mod~m)域下有：

[ki~+~r~equiv~0~(Mod~m) ]

等式两侧同乘(i^{-1}~ imes~r^{-1})

化简，整理得到：

[i^{-1}~equiv~-kr^{-1} (Mod m) ]

因为(k~=~leftlfloorfrac{m}{i} ight floor)，原式得证。

int inv[maxn];

void Get_inv(int x,int p) {
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;++i) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}