爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏,描述如下:
爱丽丝以 0 分开始,并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时,她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计,其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的,其结果具有相同的概率。
当爱丽丝获得不少于 K 分时,她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少?
示例 1:
输入:N = 10, K = 1, W = 10
输出:1.00000
说明:爱丽丝得到一张卡,然后停止。
示例 2:
输入:N = 6, K = 1, W = 10
输出:0.60000
说明:爱丽丝得到一张卡,然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下,她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3:
输入:N = 21, K = 17, W = 10
输出:0.73278
提示:
1. 0 <= K <= N <= 10000
2. 1 <= W <= 10000
3. 如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5,则该答案将被视为正确答案通过。
4. 此问题的判断限制时间已经减少。
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DP 即可,但 (O(N^2)) 会 TLE。
p[i]
表示得到 i 的概率,有 p[0] = 1
,然后枚举在 i 时抽到的值 j 即可,有 p[i + j] += p[i] * 1.0 / W;
class Solution {
public:
double new21Game(int N, int K, int W) {
double p[K + W];
memset(p, 0, sizeof(p));
p[0] = 1;
for(int i = 0; i < K; ++i) {
for(int j = 1; j <= W; j++)
p[i + j] += p[i] * 1.0 / W;
//for(auto j:p) cout << j << " " ;cout <<endl;
}
//for(auto i:p) cout << i << " ";cout <<endl;
double ans(0);
for(int i = 0; i < W && i + K <= N; ++i)
ans += p[i + K];
return ans;
}
};
考虑优化。要得到 i ,
i<K
=> 必然由它前面的 W 个前驱转移而来(不足 W 个则取完)。i>=K
=> 必然由它前面的 W 个前驱和区间 [1,K) 的交转移而来
显然,这里可以 滑动窗口 ,将 (O(KW+N)) 优化到 (O(K+W+N))
class Solution {
public:
double new21Game(int N, int K, int W) {
double p[K + W];
double s = 1.0;
memset(p, 0, sizeof(p));
p[0] = 1;
for(int i = 1; K && i < K + W; ++i) {
if(i < K) {
p[i] = s / W;
s += p[i];
} else {
p[i] = s / W;
}
if(i >= W)
s -= p[i - W];
}
//for(auto i:p) cout << i << " ";cout <<endl;
double ans(0);
for(int i = 0; i < W && i + K <= N; ++i)
ans += p[i + K];
return ans;
}
};