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  • LIS问题(DP解法)---poj1631(模板)

    题目链接:http://poj.org/problem?id=1631

    这个题题目有些难看懂hhh,但实质就是求LIS--longest increasing sequence。

    以下介绍LIS的解法模板:

    一.O(n^2)解法

    用a数组存储数据,f[i]表示以a[i] 结尾的最长子序列的长度,这样max(f[i])就是所求结果。

    代码如下:

     1 #include<cstdio>
     2 #include<algorithm>
     3 using namespace std;
     4 
     5 int n,p;
     6 int a[40005],f[40005];
     7 int res;
     8 
     9 int main(){
    10     scanf("%d",&n);
    11     while(n--){
    12         res=1;
    13         scanf("%d",&p);
    14         for(int i=1;i<=p;i++)
    15             scanf("%d",&a[i]),f[i]=1;
    16         for(int i=2;i<=p;i++)
    17             for(int j=1;j<i;j++)
    18                 if(a[j]<a[i]){
    19                     f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    20                     if(f[i]>res) res=f[i];
    21                 }
    22         printf("%d
    ",res);
    23     }
    24     return 0;
    25 }
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    但是算法复杂度为n2,题目p为4e4,还是多组询问,明显会超时。

    二 . O(nlogn)解法

    假设数字序列为a[N](也可不用保存,一边读入一边处理),我们会用到一个数组f[N],f[k]保存的是数组a中所有长为k的不下降子序列最后一个元素的最小值(下面将简称为最小最后元素),显然f的长度len即为所求。而且容易用反证法证明这个数组是递增的,若存在i<j,且f[i]>f[j],可以这样想,既然存在一个长为j的且最后一个元素为f[j]的不下降子串,则必然存在一个长为i(i<j)且最后一个元素为f[j]的不下降子串,所以f[i]<=f[j],与假设矛盾。初始化的时候,f中只有一个元素,即数字序列的第一个元素,显然f[1]=a[1],接着,每次读入一个数字时,相当数组a新增一个元素,我们设为tmp,我们的任务就是维持f数组的定义,具体操作如下:若tmp>f[len],则f[++len]=tmp,这个容易理解,若tmp<=f[1],则f[1]=tmp,这两种情况都容易理解,关键在于tmp>f[1]&&tmp<=f[len],这时需将f数组中第一个(从1到len)大于tmp的数字更新为tmp(这么做的原因是为了使后面输入时形成更长的上升子序列,不理解的话可以举个例子好好想想),因为f是有序的,所以可以使用二分查找,然后更新。当a数组确定后(数据读入完成),数组f也就确定了,此时数组f的长度就是数组a中以第一个数开头的最长不下降子序列的长度。读入数据使用一层循环,查找更新需一层循环,由于查找时用了二分,所以总的时间复杂度为O(nlogn)。至此算法就结束了。

    AC代码如下:

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    
    int n,p;
    int f[40005];
    int len;
    
    int main(){
        scanf("%d",&n);
        while(n--){
            len=0;
            scanf("%d",&p);
            int tmp;
            scanf("%d",&tmp);
            f[++len]=tmp;
            p--;
            while(p--){
                scanf("%d",&tmp);
                if(tmp>f[len]) f[++len]=tmp;
                else if(tmp<=f[1]) f[1]=tmp;
                else{
                    int l=1,r=len,m;
                    while(l<=r){
                        m=(l+r)/2;
                        if(f[m]>=tmp) r=m-1;else l=m+1;
                    }
                    f[l]=tmp;
                }
            }
            printf("%d
    ",len);
        }
        return 0;
    }

    这个是求最长上升子序列。

    求最长不下降子序列的代码如下:

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    
    int n,p;
    int f[40005];
    int len;
    
    int main(){
        scanf("%d",&n);
        while(n--){
            len=0;
            scanf("%d",&p);
            int tmp;
            scanf("%d",&tmp);
            f[++len]=tmp;
            p--;
            while(p--){
                scanf("%d",&tmp);
                if(tmp>=f[len]) f[++len]=tmp;
                else if(tmp<f[1]) f[1]=tmp;
                else{
                    int l=1,r=len,m;
                    while(l<=r){
                        m=(l+r)/2;
                        if(f[m]>tmp) r=m-1;
                        else l=m+1;
                    }
                    f[l]=tmp;
                }
            }
            printf("%d
    ",len);
        }
        return 0;
    }
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